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가감법을 이용하여 연립방정식 풀기: 2x-y=14 & -6x+3y=-42

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x와 y에 대해서 푸세요. 연립방정식이 있습니다. 2x-5= 14와 6x+3y= -42 입니다. 우리는 이 식을 소거를 이용해 풀 수 있습니다. 먼저 y 변수를 소거할 수 있는지 봅시다. 두번째 식에 3y가 있고 첫번째 식에 -y가 있습니다. 단순히 -y와 3y를 더한다고 y항이 소거되지는 않습니다. 그러나 -y를 -3y로 바꿀 수 있다면 3y와 더해서 소거할 수 있을 것입니다. -y를 -3y로 바꿀 가장 좋은 방법은 위의 식 전체(양변)에 3을 곱하는 것입니다. 그럼 한번 해봅시다. 왼쪽에 공간을 좀 만들고요 첫번째 식 전체에 3을 곱합니다. 2x에 3을 곱하면 6x가 되고 -y에 3을 곱하면 -3y가 됩니다. 그리고 14에 3을 곱하면 42가 됩니다. 3곱하기 10은 30이고 12를 더하면 42가 됩니다. 그리고 이 두 식을 더하면 됩니다. 벌써 재미있는 생각이 날 수도 있는데요 이 두 식을 더해봅시다. 좌변에서는 -6x와 6x를 더하면 0이 되고, 3y와 -3y도 소거되어 0이 됩니다. 마지막으로 -42와 42를 더하면 0이 됩니다. 그래서 결국 0=0이라는 식을 얻게 됩니다. 이것은 분명히 맞는 식이지만 x나 y에 대해 아무런 제약도 주지 않습니다. 그것은 당신이 지금 상황과 같이 명백히 참인 식을 얻게 될 때에는(0=0, 1=1, 5=5와 같은 식) 사실 그 두 식이 본질적으로 같은 식이기 때문입니다. 이것을 '종속 방정식'이라고 합니다. 여기 이 첫 식에 3을 곱하면 6x-3y= 42가 됩니다. 그리고 다시 -1을 곱하면 두 번째 식과 완전히 같은 식을 얻게 됩니다. -6x+3y= = -42라는 식이죠. 다른 방식으로 생각해보면 첫 번째 식에서 바로 두 번째 식을 얻기 위해서는 첫 번째 식의 양변에 -3을 곱하면 두 식이 서로 같아진다는 것을 알 수 있습니다. 이 둘은 단지 서로의 곱이라는 것입니다. 만약 이 두 식의 그래프를 그리면 (제가 직접 그려보겠습니다.) 첫 번째 식 2x-y= 14의 양변에서 2x를 빼면 좌변에는 -y만 남고, 우변에는 -2x-14가 남게 됩니다. 양변에 -1을 다시 곱하면 y = 2x-14라는 식을 얻게 됩니다. 그러면 첫번째 식에서 (y축과 x축을 그리고) 이 그래프의 y 절편은 -14이고 기울기는 2입니다. 그러면 이런 모양이 나옵니다. 두 번째 식의 그래프를 그려보면 종속 방정식이므로 첫 번째 식의 그래프와 정확히 같은 모양이 나오게 됩니다. 두 번째 식의 형태를 바꾸어 그려보면 첫 번째 그래프와 겹칠 것입니다, 두 식의 그래프가 일치하므로 무수히 많은 해를 갖게 됩니다. (모든 곳에서 교점을 가지게 되기 때문이죠.) 만약 0=0이나 1=1과 같은 식을 얻는다면 그것은 그 연립방정식이 종속 방정식이라는 뜻이 됩니다. 0=1과 같은 식을 얻는다면, 그 연립방정식의 해는 존재하지 않게 됩니다. 그것을 '근을 갖지 않는 연립방정식'이라고 합니다. 즉, 이 경우는 (0=0) 동일한 그래프가 그려지게 되는 경우이고, 이 경우는 (0=1) 평행한 그래프가 나오는 경우입니다. 평행한 그래프는 교점이 없게 됩니다. 그리고 가장 쉽고 익숙한 경우는 x=1, y=2와 같은 식이 나오는 경우입니다. 이러한 경우를 '독립 방정식'이라고 부릅니다. 두 다른 선이 정확히 하나의 점에서만 만나는 경우죠. 어쨌든, 처음의 연립방정식은 무수히 많은 해를 가집니다. 첫 번째 식을 만족하는 모든 x와 y는 두 번째 식도 만족합니다. 두 식은 본질적으로 같기 때문이죠.