가감법을 이용하여 연립방정식을 푸는 방법을 알아봅시다.
이 단원에서는 가감법을 이용해서 연립방정식의 해를 구합니다. 우선 방정식끼리 더할 수 있다는 것을 알아야 합니다.
핵심: 참인 방정식 2개가 있으면 더하거나 빼서 새로운 참인 방정식을 만들 수 있습니다.
예를 들어, 참인 간단한 방정식 2개가 있습니다:
2=22 = 2
5=55 = 5
이 두 개의 방정식을 더해서 새로운 참인 방정식을 만들 수 있습니다:
아니면 이 두 개의 방정식을 서로 빼서 새로운 참인 방정식을 만들 수 있습니다:
더 복잡한 방정식을 이용한 예는 다음과 같습니다:
좋습니다. 이제 방정식끼리 더하거나 뺄 수 있다는 것을 알게 되었으므로 가감법을 이용하여 연립방정식의 해를 구해 봅시다.

가감법을 이용하여 연립방정식 풀기

다음 연립방정식을 예시로 풀어 봅시다:
x+3y=8        방정식 1x + 3y = 8~~~~~~~~ \gray{\text{방정식 1}}
4x3y=17        방정식 24x - 3y = 17~~~~~~~~\gray{\text{방정식 2}}
두 미지수 xxyy가 있다는 점 때문에 해를 구하기 어렵습니다. 미지수 하나를 없앨 수 있다면...
좋은 방법이 있습니다! 미지수 yy를 소거하기 위해서 두 방정식을 더해 봅시다:
훌륭해요! 이제 방정식에는 미지수 xx만 남았습니다. 이건 어떻게 푸는지 알죠:
좋습니다! 첫 번째 방정식을 이용해서 xx55일 때 yy값을 구해 봅시다:
x+3y=8방정식 15+3y=8x에 5를 대입합니다3y=3양변에서 5를 뺍니다y=1양변을 3으로 나눕니다\begin{aligned} \blueD x + 3y &= 8&\gray{\text{방정식 1}} \\\\ \blueD 5 + 3y &= 8 &\gray{\text{x에 5를 대입합니다}}\\\\ 3y &= 3 &\gray{\text{양변에서 5를 뺍니다}}\\\\ \greenD y &\greenD = \greenD 1 &\gray{\text{양변을 3으로 나눕니다}}\end{aligned}
그러면 연립방정식의 해는 (5,1)(\blueD5, \greenD{1})입니다.

방정식에 상수를 곱한 후 가감법 사용하기

위의 예제는 방정식을 더했을 때 미지수 yy가 소거되었기 때문에 풀 수 있었습니다. 하지만 언제나 이렇게 쉽지는 않습니다.
다음 연립방정식을 예시로 풀어 봅시다:
6x+5y=28        방정식 16x + 5y = 28~~~~~~~~ \gray{\text{방정식 1}}
3x4y=1        방정식 23x - 4y = 1~~~~~~~~ \gray{\text{방정식 2}}
두 개의 방정식을 더하면, xxyy 둘다 소거되지 않습니다. 이러한 문제를 푸는 방법은 다음과 같습니다:
1단계: 방정식끼리 더했을 때 미지수 하나를 소거할 수 있도록 방정식에 상수를 곱합니다.
2(3x4y)=2(1)두 번째 방정식에2를 곱합니다6x+8y=2간단히 합니다\begin{aligned} \maroonD{-2}(3x -4y) &= \maroonD{-2}(1) &\gray{\text{두 번째 방정식에} -2\text{를 곱합니다}} \\\\ \blueD{-6x+8y} &\blueD= \blueD{-2}&\gray{\text{간단히 합니다}}\end{aligned}
2단계: 새롭게 만든 방정식을 1단계에서 사용하지 않은 방정식에 더해 미지수를 소거합니다.
3단계: yy의 해를 구합니다.
13y=26y=2양변을 13으로 나눕니다\begin{aligned} 13y &= 26\\\\ y&= 2&\gray{\text{양변을 13으로 나눕니다}}\end{aligned}
4단계: y=2y = 2를 원래 방정식에 대입하여 xx의 해를 구합니다.
3x4y=1방정식 23x4(2)=1y에 2를 대입합니다3x8=13x=9양변에 8을 더합니다x=3양변을 3으로 나눕니다\begin{aligned} 3x - 4y &= 1 &\gray{\text{방정식 2}} \\\\ 3x -4(2) &= 1 &\gray{\text{y에 2를 대입합니다}} \\\\ 3x -8 &= 1 \\\\ 3x &= 9 &\gray{\text{양변에 8을 더합니다}} \\\\ x &= 3 &\gray{\text{양변을 3으로 나눕니다}} \end{aligned}
따라서 해는 (3,2)(3, 2)입니다.

두 방정식 모두에 상수를 곱한 후 가감법 사용하기

가끔 두 방정식 모두에 상수를 곱한 후 가감법을 사용해야 될 때도 있습니다.
예를 들어, 다음 연립방정식을 봅시다:
5x+3y=14        방정식 15x + 3y = 14 ~~~~~~~~ \gray{\text{방정식 1}}
3x+2y=8        방정식 23x + 2y = 8 ~~~~~~~~ \gray{\text{방정식 2}}
이와 같은 연립방정식을 푸는 방법은 다음과 같습니다:
1단계: 미지수 하나를 소거할 수 있도록 각 방정식에 상수를 곱합니다.
5x+3y=142를 곱합니다10x+6y=285x + 3y = 14 \Rightarrow \maroonD{\text{2를 곱합니다}} \Rightarrow 10x + 6y = 28
3x+2y=83을 곱합니다9x+6y=243x + 2y = 8 \Rightarrow \maroonD{\text{3을 곱합니다}} \Rightarrow 9x + 6y = 24
2단계: 새로운 방정식을 사용해서 하나의 미지수를 소거합니다.
3단계: x=4x = 4를 넣어 yy 값을 구합니다.
3x+2y=8방정식 23(4)+2y=8x에 4를 대입합니다12+2y=82y=4양변에서 12를 뺍니다y=2양변을 2로 나눕니다\begin{aligned} 3x + 2y &= 8 &\gray{\text{방정식 2}} \\\\ 3(4) + 2y &= 8 &\gray{\text{x에 4를 대입합니다}} \\\\ 12 +2y &= 8 \\\\ 2y &= -4 &\gray{\text{양변에서 12를 뺍니다}} \\\\ y &= -2 &\gray{\text{양변을 2로 나눕니다}} \end{aligned}
따라서 해는 (4,2)(4, -2)입니다.

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