양변에 미지수가 있는 방정식이란?

이번엔 조금 어려운 방정식을 풀어 봅시다 2x + 3 = 5x - 2라는 식이 있습니다 처음엔 조금 어려울 수도 있어요 양변에 x가 있고 수가 더해지거나 빼져있습니다 여러 가지 방법으로 풀어 볼까요? 여기서는 x를 한쪽으로 이항시키는 것이 중요합니다 그러면 x에 관한 식이 나와서 방정식의 해를 구할 수 있어요 처음으로 돌아가 검산을 할 수도 있죠 이제 여러 단계를 거쳐 방정식의 x를 분리시킬 거예요 이 과정 속에서 어떤 일이 일어나는지 살펴볼 것입니다 이렇게 방정식을 푸는 단계를 눈으로 살펴보면 어떤 것은 되고 어떤 것은 안되는지 이해할 수 있을 거예요 먼저 좌변을 봅시다 좌변의 2x는 x + x라고 할 수 있죠 그리고 3은 1 + 1 + 1로 쓸 수 있죠 같은 수를 다른 방식으로 나타냈을 뿐이에요 3에 같은 색으로 표시해 주겠습니다 이제 우변을 보면 5x는 x가 5개와 같겠죠 x를 5개 써 봅시다 x + x + x + x + x 실제로 문제를 풀 때는 이렇게 할 필요는 없어요 그냥 단계에 따라 계산해주면 됩니다 지금 이렇게 푸는 이유는 과정을 보여주기 위해서에요 좌변은 2x + 3이고 우변은 5x - 2였죠? 2는 분홍색으로 써 보겠습니다 -2는 - 1 - 1로 쓸 수 있어요 이제 양변에 있는 x를 한쪽 변으로 이항해 봅시다 방법은 두 가지인데 먼저 방정식의 양변에서 2x를 빼는 것입니다 5x에서 2x를 빼면 우변에 남는 x의 개수는 양수가 되겠죠 또는 양변에서 5x를 빼는 방법도 있어요 등식의 매력은 옳은 과정을 거쳐 문제를 풀었을 때 항상 정답이 나온다는 것입니다 그러면 방정식의 양변에서 2x를 빼 봅시다 이는 좌변의 x가 2개 사라진다는 의미에요 좌변에서 x를 2개 지웠으므로 우변에도 x를 2개 지웁니다 방정식은 어떻게 될까요? 좌변에서 2x를 빼고 우변에서도 똑같이 2x를 빼줍니다 좌변을 정리해 봅시다 2x + 3 - 2x 이므로 2x는 서로 소거되겠네요 그러면 3만 남게 됩니다 이쪽 식에서 보면 x를 두 개 지웠기 때문에 + 1 + 1 + 1 밖에 남지 않았습니다 우변을 계산해 봅시다 5x - 2x 네요 이쪽 식에서 보면 5개의 x 에서 2개의 x를 뺐으므로 x는 3개만 남습니다 따라서 3 = 3x - 2입니다 계산하지 않은 -2가 아직 남아있죠 보통 문제를 풀 때는 왼쪽 식처럼 계산해 주면 됩니다 이제 x를 한쪽 변으로 몰아줘야 합니다 x는 모두 우변에 있죠 우변의 -2를 없앨 수 있다면 우변에는 x만 남게 될 거예요 그러면 -2는 어떻게 없앨 수 있을까요? 이쪽 식에서 - 1 - 1을 없애주려면 어떻게 해야 될까요? 양변에 2를 더하면 되겠죠 2를 더하면 어떻게 될까요? 우변에 1을 두 번 더해주고 좌변에도 1을 두 번 더해줍니다 왼쪽 식에서도 양변에 2를 더해 봅시다 좌변은 3 + 2 = 5가 되겠죠 우변은 3x - 2 + 2가 되므로 2는 소거됩니다 그러므로 3x만 남게 되죠 오른쪽 식에서 보면 좌변에 1이 다섯 번 더해졌죠 1이 다섯 개 있으므로 5와 같습니다 우변에는 x가 3개 있고 - 1 - 1과 + 1 + 1은 서로 소거됩니다 즉, 0이 되는 것이죠 따라서 식은 5 = 3x가 됩니다 오른쪽 식에서 계산했던 과정을 지워 볼게요 여기도 지워주고 이 부분도 지우겠습니다 이제 좌변에는 1이 다섯 개 남아 있습니다 1 + 1을 좀 가까이 옮겨 볼게요 좌변에는 1이 다섯 개 있죠 이 부분은 양변에 더해준 2입니다 우변에서 더해준 2는 소거되어 아무것도 남지 않았습니다 이제 양변을 3으로 나눠 봅시다 조금 어려울 수도 있어요 양변을 3으로 나누면 어떻게 될까요? 좌변과 우변을 3으로 나눕니다 양변을 3으로 나누는 이유는 x에 곱해진 수, 즉 계수가 3이기 때문입니다 계수는 x와 같은 미지수에 곱해져 있는 수를 의미해요 우변의 3은 약분되어서 x만 남고 좌변은 5/3가 됩니다 따라서 5/3 = x가 됩니다 지금까지 봐왔던 식과 다르게 x가 우변에 있고 수가 좌변에 있죠 순서는 상관없습니다 x = 5/3와 같은 의미에요 두 식의 모양은 다르지만 같은 것을 의미해요 대분수로 한번 나타내 봅시다 3은 5에 한 번 들어가고 2가 남죠 그러므로 1과 2/3가 됩니다 이를 x = 1과 2/3라고 쓸 수도 있어요 해를 원래 식에 대입해서 직접 검산해 보세요 이번엔 오른쪽 식에서 1과 2/3를 구해 볼까요? 정사각형을 이용해서 설명해 보겠습니다 좌변에는 정사각형이 5개 있습니다 1개, 2개, 3개, 4개, 5개 이는 x가 3개와 같습니다 x + x + x 그리고 양변을 3으로 나눕니다 오른쪽 식에서도 양변을 3으로 나눠주었죠? 우변은 쉽게 나눌 수 있습니다 x가 세 개를 세 묶음으로 나누면 이렇게 되겠죠? 5는 어떻게 똑같이 세 묶음으로 나눌 수 있을까요? 아까 답을 구했듯이 한 묶음은 1과 2/3가 될 거예요 1과 두 번째 정사각형의 2/3를 합치면 1과 2/3가 됩니다 두 번째 정사각형은 1/3이 남고 세 번째 정사각형 전체와 네 번째 정사각형 1/3을 가져오면 1과 2/3가 됩니다 이렇게 5를 세 묶음으로 나눴습니다 좀 더 깔끔하게 정리해 볼까요? 여기는 1과 2/3고 그리고 여기는 1/3이고 여기 1/3이 또 있습니다 그리고 1이 여기 있으므로 다 합쳐서 1과 2/3가 됩니다 마지막으로 여기는 2/3고 여기는 1이므로 1과 2/3입니다 이렇게 양변을 3으로 나누면 좌변의 한 묶음에는 1과 2/3 즉, 5/3가 들어갑니다 우변의 한 묶음에는 x가 한 개 들어가죠? 끝났습니다