식의 부호 심화

여러 가지 양수와 음수를 곱할 때 일어나는 일에 대한 이해를 몇 가지 문제로 다져볼까요? 늘 그렇듯이, 제가 문제를 풀어드리기 전에 영상을 멈추고 직접 풀어보시기를 권장합니다 첫번째 문제입니다 ((s^67)/(t^9))/((3s)*(s/4t))의 부호를 구하라는군요 이때, s는 음수이고 t는 양수입니다 여기서 매우 흥미로운 점은 s가 0보다 작다는 건데요, s가 음수이면 s^67의 부호는, 이때 음수 x의 n제곱에서 n이 홀수이면 x^n도 홀수입니다 s의 67제곱은요, 말 그대로 s를 67번 곱한 것과 같습니다 음수들을 홀수 번 곱하는 셈입니다 음수를 홀수 번 곱하게 되면, 그 값 역시 음수가 됩니다 그러므로 s^67의 값은 음수입니다 그럼 t의 9제곱의 부호는 무엇일까요? t는 양수라고 문제에서 말해줍니다 양수는 지수가 무엇이든 무조건 양수가 되기 때문에 이 값 역시 t가 양수이므로 양수가 될 것입니다 그럼, 음수를 양수로 나누면 어떻게 될까요? 이러한 식의 값은 음수가 됩니다 이것은 이미 이전에도 증명한 바 있습니다 그러므로 이만큼은 음의 부호가 붙을 것입니다 이 문제에서는 우리는 어차피 부호만 구하면 되므로 이만큼을 그냥 '음수'라고 쓰도록 할겁니다 그러면 이 식은 음수/(3s*(s/4t)의 형태가 됩니다 그럼 식의 뒷부분을 한번 살펴봅시다 우리는 s가 음수이며, t와 4t가 양수임을 알고 있으므로, 조금 전에 했듯이 음수를 양수로 나누면 음수가 됩니다 그러므로 저는 이 부분 전체를 '음수'라고 하겠습니다 이제 식은, 음수/(3s/음수)의 형태를 띄게 됩니다 그럼 3s는 무엇일까요? s가 음수이니, 3s 역시 음수가 될 겁니다 두 음수를 곱하면, 양수가 됩니다 그러므로 여기 있는 이만큼은 모두 양수가 되는 것입니다 이걸 다르게 생각해 볼 수 있습니다. 음수와 음수를 곱하면, 양수가 됩니다, 이 양수를 또 다른 양수로 나누므로 이 전체 역시 양수가 될 것입니다 그러므로 이 식의 뒷부분은 모두 양수가 되겠습니다 이 앞부분은 음수이고, 이 뒷부분은 양수입니다 이 식은 최종적으로 음수를 양수로 나누므로 전체적인 값은 음수가 될 것입니다 이 복잡한 식의 부호는 결국 뭐가 됩니까? 음수가 되겠죠 s<0, t>0라는 조건 아래에서 말입니다 계속 해볼까요? 이거 은근 재밌네요 p가 양수이고 <i>q가 0일때</i> ((p)<i>(p/q)) </i>4(2/7)의 부호를 구하라는군요 q가 0임을 강조했을 때부터 엄청난 힌트를 드린 겁니다 내친 김에 힌트를 하나 더 드리도록 하겠습니다 제가 방금 드린 힌트에 대하여 깊이 생각해보신다면, 이 문제를 1초도 안 걸려서 푸실 수 있을 겁니다 제가 방금 그런 말을 왜 했을까요? 여러 수를 곱하는데 가운데 0이 하나 낀다면, 식 전체도 역시 0이 됩니다 예를 들어, a곱하기 b곱하기 c곱하기 d곱하기 e의 식에서, 이 미지수 중 하나만 0이라도 식 전체는 결국 0이 됩니다 예를 들어, c가 0이라면, axbxdxe까지 하고 어떤 수를 구한 다음, c를 곱하면, 식 전체는 결국 0이 됩니다! 이 문제에서요, q는 0과 같고, 이 q는 이 분수의 분자의 자리에 있습니다 그러면요, 저는 여기 이 p 둘을 1로 바꿀 수 있고, 이를 q, 즉 0에 곱하면 0이 됩니다 이 0을 다시 4(2/7)에 곱하면 식 전체가 0이 될 것입니다 이 문제의 핵심은, 항을 모두 곱하는 경우에서 수 하나가 0이므로 식의 값 전체가 0이라는 것을 유추해 낼수 있는것입니다! 이 문제의 값은 0이므로 양수도, 음수도 아닙니다 부호가 없지요; 0보다 크지도, 작지도 않습니다 좋습니다, 한 문제 더 해보도록 할까요? a가 음수일 때, -(3/4)*(-(a^4)/3)의 부호를 구해야 합니다 a가 0보다 작다고 말해주고 있습니다 조금 더 진한 색으로 쓰도록 하겠습니다 여기에는, 음수를 짝수 번 곱했습니다. a곱하기 a곱하기 a곱하기 a의 꼴이죠. 조금 전에도 밝혔듯이, 음수의 지수가 짝수이면 이는 양수가 됩니다 이를 쪼개서 생각해 보면요, 음수 둘을 곱하면 양수가 됩니다 나머지 두 음수도 곱하면 양수가 되고, 이 두 양수를 곱하면 다시 양수가 됩니다 a가 음수임에도 불구하고 말입니다 이를 생각할 수 있는 또 다른 방법은, a 곱하기 a는 양수가 되고,거기다 a를 또 곱하면 음수가 됩니다 거기에 a를 다시 곱하면, 양수가 됩니다 그러므로 a의 네제곱은 양수가 될 것입니다 그러나, 이 앞에 음의 부호가 붙어 있습니다 양수를 양수로 나눈 것에 음의 부호를 붙였으므로, 이 괄호 안에 있는 부분은 전체적으로 음수가 될 것입니다 음수인 (-(a^4)/3)에다 음수인 -3/4를 곱하므로 이 식은 전체적으로 양수가 됩니다 하나만 더 해볼까요? 너무 재미있군요 x가 음수일때,( (x^59)/2.3x)*4/5의 부호를 구해야 합니다 다시 한번, x는 0보다 작습니다 x^59, 이는 음수에 홀수인 지수가 붙었으므로 음수가 되겠고, 분모에 있는 x 역시 음수이므로 2.3x 역시 음수입니다 분자도, 분모도 모두 음수입니다 음수를 음수로 나누면 양수가 됩니다 이 앞부분은 전체적으로 양수가 될 것입니다 식에서는 두 양수를 곱하고 있으므로, 이 식의 값은 양수가 될 것입니다 멈출 수가 없네요. 마지막 문제입니다 -x*(y/(7/8))의 부호를 구해야 합니다 이 아래에서는 x와 y를 수직선에 나타내어 주었습니다 이를 통해, 우리는 x는 양수이며 y는 음수라는 것을 알 수 있습니다 한번 생각해 볼까요? x는 양수이지만, 앞에 음의 부호가 붙어 있으므로 음수입니다 음수와 양수를 곱하면 음수가 됩니다 그럼 y/(7/8)은무엇일까요? y는 음수입니다 음수 y를 양수로 나누고 있으므로 뒷부분은 음수가 됩니다 최종적으로, 우리는 두 음수를 곱하고 있으므로, 이 식의 부호는 양수가 될 것입니다 이 식>0 이 되는 것입니다!