예제: 수 분류하기

순환소수 3.4028은 어느 수체계로 설명할 수 있을까요? 이 숫자가 무엇을 나타내는지 알아봅시다 특히 이 숫자 위에 선이 무엇을 의미하는지 말입니다 이 숫자 위의 선은 28이 계속 반복되고 있다는 것을 나타냅니다 따라서 이 숫자는 3.4028의 뒤에 28이 계속 반복되고 있는 소수라고 생각하면 됩니다 끊임없이 반복되고 있다고 생각하면 됩니다 3.40282828282828... 이렇게 계속 쓸수도 있지만 반복되는 28위에 선을 긋는게 훨씬 더 간단합니다 28이 계속 반복된다는 것을 보이기 위해서는 말이죠 그럼 이 수가 어떤 수체계에 포함되는지 알아봅시다 이제까지 다룬 가장 큰 수체계는 실수입니다 이 수는 당연히 실수에 포함됩니다 실수는 흔히 수직선에 있는 모든 수라고 생각하면 됩니다 그리고 3.4028은 이 근처에 위치한 실수입니다 여기가 -1이면 여기는 각각 0, 1, 2, 3, 4가 되겠네요 3.4028은 3.4보다는 약간 크고 3.41보다는 약간 작은 수니까 이쯤에 위치할 것입니다 따라서 이 소수는 확실히 수직선 상에 위치합니다 실수이니까요 확실하게 실수입니다 하지만 이 수가 유리수인지는 아직 모릅니다 유리수는 유리식이나 분수로 표현될 수 있기 때문입니다 만약 p가 유리수라고 한다면 p는 두 정수의 비로 표현될 수 있다는 것을 의미합니다 m/n으로 표현합니다 이제 이 수를 어떻게 정수로 표현할 수 있을까 알아봅시다 이 수를 어떻게 분수로 나타낼까를 생각해보면 됩니다 이 식을 분수로 표현해 봅시다 이 수가 x라고 가정해봅시다 x 는 3.40282828282828....과 같습니다 그렇다면 10,000x가 어떤 수일지 생각해봅시다 여기서 10,000x가 궁금한 이유는 소수점을 맨 오른쪽으로 옮기고 싶기 때문입니다 따라서 10,000x를 구해보죠 10,000x는 그럼 몇이 될까요? 어떤 수에 10을 곱할 때마다 소수점을 오른쪽으로 한 칸씩 옮기면 됩니다 10,000은 10을 4번 곱한 것과 같으므로 10,000을 곱하면 소수점을 오른쪽으로 4칸 옮기는 것과 같습니다 1, 2, 3, 4 따라서 10,000x는 34,028 여기서 28은 여전히 반복될 것입니다 이 숫자는 x에서 5칸만큼 소수점이 움직인 것입니다 알겠나요? 이 숫자는 대략 3과 1/2입니다 이를 10,000배하면 약 35,000가 나옵니다 이렇게 구하는 것이 10,000x입니다 그러면 100x는 어떻게 구할 지 생각해봅시다 여기서 하고 싶은 것은 두 개의 숫자를 만들어서 빼면 x로 표현한 뒤 반복되는 부분이 사라지도록 하는 것입니다 그리고 원래 아는 숫자대로 다루면 됩니다 그럼 100x가 어떤 수인지 알아봅시다 100x 소수점은 움직여봅시다 원래 위치를 명심하고 100을 곱하면 소수점 두 칸을 움직입니다 그러면 100x는 여기에 이렇게 써보면 340.28282828... 에서 28이 반복되는 숫자겠네요 28이 십의 자리부터 반복된다고 할 수 있지만 반복되는 부분이 소수점 뒤에 나타나도록 하는 것이 좋습니다 그래서 28이 반복된다고 다시 쓰면 됩니다 이제 신기한 일이 나타날 것입니다 이 두 숫자들은 x의 배수입니다 위의 10,000x에서 아래의 100x를 빼면 어떤 일이 나타날까요? 끊임없이 반복되는 부분이 없어지겠죠? 각 식의 양변에서 모두 빼야 합니다 빼봅시다 좌변에서는 10,000x에서 100x를 빼면 9,900x가 될 것이고 우변에서는 소수점 아래는 모두 없어질 것입니다 그러면 34,028 - 340가 무엇인지만 알아내면 됩니다 알아내 봅시다 8이 0보다 크므로 그냥 계산하고 2는 4보다 작습니다 받아내림해야 하지만 앞의 자릿수가 0이므로 아직은 빌릴 수 없겠군요 앞에서 0이 3보다 작으므로 받아내림을 위해서 앞의 자리에서 수를 빌려오죠 4에서부터 먼저 수를 빌려오겠습니다 4로부터 수를 빌려오면 4는 3이 되고 0은 10이 됩니다 그러면 2는 10으로부터 빌려올 수 있습니다 그러면 10은 9가 되고 2는 12가 됩니다 이제 뺄셈을 할 수 있습니다 8 - 0은 8입니다 12 - 4는 8입니다 9 - 3은 6입니다 3에서 아무것도 안 빼면 3입니다 따라서 9,990x는 33,488입니다 위의 34,028에서 340을 뺐으므로 아래에는 33,688이 남습니다 x의 값을 알기 위해서 양변을 9,900으로 나눕시다 좌변을 9,990으로 나눕시다 우변도 9,990으로 나눕시다 그러면 어떤 식이 나옵니까? x가 33,688/9,900와 같다는 것을 알 수 있습니다 어려워 할 필요 없습니다 x는 이 숫자였던 겁니다 x는 끊임없이 반복되는 부분이 있는 숫자였습니다 곱셈을 통한 식의 변형과 변형된 식들을 서로 빼서 우리는 x를 분수로 표현할 수 있었습니다 이 분수는 기약분수는 아닙니다 분모와 분자는 둘 다 2와 4로 약분이 가능해 보입니다 따라서 이 분수를 기약분수로 표현할 수 있겠지만 상관하지 맙시다 여기서 중요하게 봐야 할 것은 x를 분수로 나타낼 수 있다는 사실입니다 두 개의 정수의 비로 말입니다 이 수는 유리수입니다 여기서 푼 방법은 이 숫자에만 적용되는 것이 아닙니다 끊임없이 반복되는 수라면 이 방법을 이용할 수 있습니다 따라서 순환소수는 전체적으로 유리수입니다 진짜 무리수들은 어느 부분이 반복되지 않습니다 파이와 같이 말이죠 다른 것들은 꽤 명확해 보입니다 이 수는 정수가 아닙니다 정수들은 여기서 다루고 있는 범자연수(whole number)입니다 따라서 이 수는 어떤 정수 사이에 있습니다 이 수는 자연수도 아니고 범자연수도 아닙니다 범자연수는 어떤 면에서 정수에 일부분이라고 볼 수 있습니다 따라서 x는 범자연수도 정수도 아닙니다 따라서 이 숫자는 실수이며 유리수입니다