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이 비디오에서 지수의 특징과 관련하여 몇 가지 예를 제시하고자 합니다 시작하기앞서 지수가 무엇이었는지부터 조금 복습하고 가보도록 하죠 자, 2의 3제곱이 있다고 합시다 6이잖아?라고 말할 수도 있지만 6이 아닙니다 이것은 2 자신이 세 번 곱해졌다는 소리입니다 그래서 이건 2곱하기 2곱하기 2와 같을 것인데 2곱하기 2가 4이고 4곱하기 2가 8이라는 소리와 같죠 3의 2제곱이 뭐냐고 묻는다면 그것은 3 자신을 두 번 곱한 것과 같죠 이것은 3 곱하기 3과 같습니다 그 답은 9죠 문제를 하나 더 풀어보죠 만약 이걸 한번도 보지 못했다면 그게 정상입니다 5의 7제곱이 있습니다 이것은 5 자신을 7번 곱한 것과 같죠 5곱하기 5곱하기 5곱하기 5곱하기 5곱하기 5곱하기 5죠 7번 곱한 것 맞죠? 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 일곱 이건 굉장히 큰 수가 될 것이고 당장 이 값을 구하지 않을 겁니다 직접 계산해 보고 싶다면 해보세요 계산기를 사용해도 방금 구한 수는 아주 클 겁니다 지수가 빠른 속도로 계산하게 해주는 것에 감사할 겁니다 5의 17제곱은 더 엄청나게 큰 수일 겁니다 어쨌든 지수를 복습해 봅시다 지수를 사용해서 대수학에서 뭔가를 얻어봅시다 다른 색으로 써보죠 3x 곱하기 3x 곱하기 3x 는 뭘까요? 음 곱셈에 관하여 기억해야 할 것은 곱하는 순서는 상관 없다는 것이죠 그래서 이것은 3곱하기 3곱하기 3곱하기 x 곱하기 x 곱하기 x 입니다 바로 전에 복습한 것에 따라서 이 쪽 부분 그러니까 3곱하기 3곱하기 3은 3의 3제곱입니다 여기에서 x는 스스로 세 번 곱해졌습니다 이것은 x의 세 제곱이죠 그래서 이 전체는 3의 세 제곱 곱하기 x의 세 제곱으로 다시 쓰여질 수 있습니다 혹은 당신이 3을 세 번 곱한 것이 9 곱하기 3이라는 것을 안다면 -27이겠죠 이건 27 곱하기 x의 세 제곱입니다 당신은 말하겠죠 3x의 세 제곱이 아니야! 그럼 이건 3x의 세 제곱이 아니었을까요? 당신은 3x 를 세 번 곱했습니다 정확히 맞습니다 3x의 세제곱이라고도 해석할 수 있죠 그리고 이와 같이 우리는 하나의 지수의 특성을 발견한 겁니다 기억하세요 제가 몇 곱하기 몇을 하고 이 수 전체가 세 제곱일때 이 모든 숫자에 세 제곱이 적용됨니다 그래서 3x의 세 제곱은 3의 세 제곱에 x의 세제곱을 곱한것 그러니까 27 x세제곱 이라는 거죠 몇가지 예를 더 들께요 6의 3제곱 곱하기 6의 6제곱은? 그리고 이건 엄청 큰 수가 될 겁니다 하지만 6의 지수 형태로 이 수를 쓰고 싶군요 다른 색으로 6의 6제곱을 적어 보죠 6의 3제곱 곱하기 6의 6제곱 이건 뭐랑 같을까요 음, 6의 3제곱은 우리가 알듯 6 자신을 세 번 곱한 것이죠 그래서 그건 6곱하기 6곱하기 6입니다 그리고 곱하기 계속 할께요 여기가 초록색으로 써지네요 계속 초록색으로 쓰죠 저는 두개를 다 오랜지로 쓸게요 이 오렌지색 부분은 6의 6제곱이죠 음, 6의 6제곱이 뭔가요 6을 6번 곱한 값이죠! 그래서 6곱하기 6곱하기 6곱하기 6하기 6 하나 더 곱해서 다시 곱하기 6 그래서 이 모든 숫자가 뭐가 될까요 음, 이 전체는 6을 여섯 번 곱한 값이죠 얼마나 많이 곱했죠? 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 일곱 여덟 아홉, 아홉번이죠? 세번은 요기에, 다른 요쪽에는 6번 그래서 6번을 곱해서 9번 곱한게 됐네요 3더하기 6 그래서 이것은 6에 3을 더한 값을 제곱한 값 혹은 6의 9제곱이 되겠네요 이와 같이 또 다른 지수 법칙을 발견했네요 지수를 이용할 때 이 경우 6의 3제곱은 6을 밑으로 가지는 수이죠 지수 3을 가지고 있는 밑을 취하고 있습니다 똑같은 밑을 가질 때 같은 밑의 수를 곱하여 각 지수를 더했죠 이 경우의 다른 예를 더 들어볼께요 진홍색으로 써 볼께요 2의 제곱 곱하기 2의 4제곱 곱하기 2의 6제곱을 했다고 합시다 밑이 같은 수를 가지고 있군요 그래서 지수들을 더할 수 있겠어요 이것은 2의 2더하기 4더하기 6 (2^2+4+6) 그러니가 2의 12 제곱과 같겠군요 그리고 이해가 되면 좋겠지만 2 자기 자신을 두번 곱한 값 2 자기 자신을 네 번 곱한 값 2 자기 자신을 6번 곱한 값이 있죠 모두 곱하면 2를 12번 곱한 값 2의 12 제곱이 된다는 것입니다 좀 더 추상적인 방법으로 해보겠습니다 변수들을 좀 사용해서요 추상적이지만 명확한 개념이죠 x1곱 곱하기 x의 4제곱은 몇일까요? 지금까지 배운 지수 법칙들을 사용해 보죠 같은 밑인 x 를 가지고 있고 그래서 이 수는 x의 2+4 제곱이 될 것입니다 결과적으로 x의 6제곱이 됩니다 못 믿으시겠다면 x의 제곱은 뭔가요? x제곱은 x 곱하기 x 이죠 그리고 x의 4제곱이 있다면 x를 네 번 곱하는 것이죠 x 곱하기 x 곱하기 x 곱하기 x요 그래서 얼마나 많이 x 를 곱했죠? 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 번이네요 x의 6제곱이란 말입니다 다른 문제를 하나 더 해보겠습니다 많이 해볼수록 더 익숙해질 겁니다 자, 다른 지수 법칙들을 해볼까요 섞고 대응 시켜서 말이죠 a의 세제곱에 네제곱이 있다고 하죠 새 법칙을 알려드리고 증명해 드리겠습니다 이해가 되게요! 지수에 또 다른 지수가 있다면 지수를 높여서 지수를 곱할 수 있죠 그래서 a의 3제곱의 4제곱은 a의 12 제곱이 되는 거에요 왜 이럴까요? 여기에 써보죠 이것은 3을 네번 곱한 거에요 그래서 이것은 a의 3제곱 곱하기 a의 3제곱 곱하기 a의 3제곱 곱하기 a의 3제곱이죠 같은 밑을 가지고 있기 때문에 지수들을 더할 수 있죠 그래서 3곱하기 4를 얻어낸 거에요 이것은 a 3더하기 3더하 3더하기 3제곱이죠 그것은 3곱하기 4 즉 12 제곱이죠 방금 배운 지수 법칙들을 복습해 봅시다 x의 a 제곱 곱하기 x의 b 제곱이 있습니다 이것은 x의 a+b 제곱이 됩니다 (x^a+b) 여기에서 봤죠? x제곱 곱하기 x의 4제곱은 x의 6제곱 즉 2+4 라는 걸요 또한 x곱하기 y 전체의 a제곱은 x에도 a 제곱이라는 것을 알 수 있었어요 y도 a 제곱을 하는 동시에요 이번 강의 시간 앞부분에서 배웠습니다 저기서 봤네요 3x의 세 제곱은 3의 세 제곱 곱하기 x의 세 제곱을요 여기 있네요 3x의 세 제곱은 3의 세 제곱 곱하기 x의 세제곱이다 그리고 방금 발견한 마지막 지수 법칙에서 x의 a 제곱 b제곱을 하면 그것은 x의 a 곱하기 b 제곱이 된다는 것도 봤죠 (x^ab) 그리고 여기서 봤네요 a 의 세 제곱에 4제곱을 곱해서 3곱하기 4 제곱인 a의 12 제곱과 같아지죠 이 법칙을 어려운 문제들을 푸는데 써보죠 2xy 제곱 곱하기 x의 마이너스 2제곱 y 제곱 곱하기(x^-2y^2) 3x제곱y제곱 이것을 간단히 하고 싶습니다 지수 법칙을 쓰기 좋은 문제네요 간단히 해봅시다 -1 곱하기 x의 제곱 곱하기 y 전체의 제곱이라고 볼 수 있습니다 이 모든것에 제곱을 하면 각각을 제곱한 것과 같게 됩니다 그래서 이 부분은 -1의 제곱 곱하기 x 제곱의 제곱 곱하기 y의 제곱으로 간단히 할 수 있습니다 이것을 더 간단히 하면 -1의 제곱은 그냥 1이고 x의 제곱의 제곱은 x의 4제곱 y제곱이 되는 것입니다 (x^4y^2) 중간부분을 간단히 했습니다 다른 부분과 합칠 수 있는지 봅시다 이 다른 부분들은 2xy제곱이었죠 그리고 이건 3x제곱y제곱입니다 이제 모든 것들을 곱해볼 겁니다 그리고 곱셈에서 곱의 순서가 바뀌어도 된다는 것을 배웠습니다 다시 써보면 2곱하기x곱하기y제곱 곱하기 x4제곱 y제곱 곱하기 3 곱하기 x제곱 곱하기 y 제곱입니다 재정렬해서 간단히 하기 더 쉬워졌네요 그러면 2곱하기 3 그리고 이제 x 부분을 계산해 보죠 이 색으로 해볼께요 x곱하기 x네제곱 곱하기 x 제곱 그리고 y를 계산해보자면 곱하기 y제곱 곱하기 다른 y 제곱 곱하기 다른 y 제곱 그리고 이 값은 뭐죠? 2곱하기 3이네요 계산할 줄 알죠? 이것은 6입니다 그리고 x 곱하기 x 네 제곱 곱하기 x 제곱은 뭘까요? 기억 할 것은 x는 x의 1제곱이라는 것이죠 어떠한 수의 1제곱은 바로 그 수입니다 그래서 2의 1제곱 그냥 2 이라는 거죠 3의 1제곱은 그냥 3이고요 그래서 이 값은 뭘까요? 그러면 이 값은 밑이 x로 같기 때문에 지수끼리 더하면 x의 1+4+2제곱이 됩니다 다음 과정에서 더할게요 그리고 y에 대해서는 곱하기 y의 2+2+2제곱이죠 그래서 답은 6 x의 7제곱 y의 6제곱이죠 6x^7y^6 알고 있을 수도 있지만 흥미로운 질문 하나 하겠습니다 만약에 어떤 수에 0제곱을 한다면 어떻게 될까요? 만약 7에 0제곱을 한다면 무슨 수가 나올까요? 이 문제는 직관적으로 해결하기 쉽지 않습니다 이 숫자는 (7의 0제곱) 1 입니다 1의 0제곱도 1이죠 어떤 수의 0제곱은 0이 아닌 수의 0제곱은 모두 1입니다 왜 이러는지 약간의 힌트를 드리죠 이렇게 한번 생각해 보세요 3의 1제곱 3의 1제곱 2제곱 3 제곱 3이라는 밑의 지수를 썼습니다 그래서 3의 1제곱은 3이죠, 맞죠? 3의 2제곱은 9이고요 3의 3제곱은 27입니다 마찬가지로 3의 0제곱이 무엇인지 생각해봅시다 음, 생각해 보세요 지수를 계속 감소 시킬 때마다 지수를 1씩 감소시킬 때 마다 3으로 나누게 됩니다 27에서 9로 3으로 나눴고요 9에서 3으로 또 3으로 나눴네요 그래서 이렇게 계속 하다보면 3으로 계속 나누게 되겠네요 그래서 이것이 어떤 수의 0제곱이라도 이 경우에서도 3의 0제곱은 1입니다 다음 비디오에서 만나요