일차방정식 만들기 예제: 헬스장 회원증과 레몬 에이드

일차함수 그래프에 관한 응용 문제들을 풀어봅시다 이 문제에서 체육관은 신입멤버들에게 가입방식을 제안하고 있습니다 신규 가입비 200달러를 낸 후 매달 39달러의 월회비를 내는 것을 가입규약이라고 하겠습니다 이 멤버십을 1년동안 유지시키기 위해서는 얼마의 비용이 필요할까요? 총 비용이 얼마가 들어갈지 식을 세워서 구해 봅시다 P를 우리가 1년 동안 지불해야 할 총 금액으로 놓읍시다 우선, 우리가 체육관을 몇 달을 쓰든 간에 무조건 가입비로 200달러를 지불해야 합니다 무조건 가입비로 200달러를 지불해야 합니다 자, 여기 200달러라고 적어 봅시다 그리고 매달 39달러를 지불해야 합니다 그래서 우리는 체육관을 사용할 개월수에다 39를 곱할 것입니다 우리가 1달만 사용한다면 1개월 x 39달러만큼의 금액을 지불해야 합니다 그리고 이미 200달러의 가입비를 냈기 때문에 총 지불금액은 239달러가 됩니다 우리가 체육관을 2개월 동안 사용하면 200달러의 초기 가입비에다 2개월의 월회비를 지불해야 합니다 두 달 동안 78달러를 지불해야 하므로 총 278달러를 지불해야 합니다 이를 일차방정식과 일차함수의 개념과 연관시키기 위해 이 문제에 맞는 그래프를 그려 봅시다 일차함수의 그래프는 y=mx+b로 표현됩니다 이 문제를 위와 같은 식으로 표현하기 위해서는 39m과 200을 재배열해서 p=39m+200라고 쓰면 됩니다 그렇다면 여기에서 기울기와 y절편은 무엇일까요? 약간 헛갈릴 수도 있어요 '여기에는 x와 y가 있는데 왜 여기에는 p와 m이 있지?'라고 생각할 수도 있습니다 하지만 문자에 치중하지 말고 m은 독립변수이고 p는 종속변수라는 것에만 주목해야 합니다 여기서 p는 종속변수입니다 몇 개월 동안 체육관을 사용합니까? 여러분이 몇 개월 사용할지 정하면 총 얼마를 지불해야 하는지 알려주겠습니다 이것이 전형적인 일차함수입니다 m은 여기에 있는 x와 같고 p는 y와 같습니다 따라서 여기 200은 세로축의 절편 혹은 p절편이라 말할 수 있습니다 우리가 흔히 y절편이라고 하는 것입니다 그러나 여기에서 200은 y축 위에 있는 것이 아니라 p축 위에 있다고 보는 것입니다 여기 39가 기울기가 됩니다 이 방정식을 그래프로 그려봅시다 너무 정확하게는 그리지 않겠습니다 대강 요점만 파악할 수 있도록 그래프를 그리겠습니다 그래프는 제1사분면 안에서만 그려야겠지요 사용기간은 음수가 될 수 없고 체육관이 우리에게 돈을 줄 일도 없기 때문입니다 시작할 때 우리는 체육관에 200달러를 지불해야 할 것입니다 그리고 그 뒤로는 매달 추가로 39달러를 지불해야 합니다 따라서 기울기는 39입니다 여기가 우리가 1개월 동안 체육관을 사용했을 때의 지점이라 합시다 우리는 한 달을 1이라 둘 것입니다 여기에서 p축은 지불 금액을 나타냅니다 따라서 여기 이 점은 p절편 혹은 일반적으로는 y절편이라고 부르는 것입니다 그렇다면 1개월 후에는 총 얼마를 지불해야 할까요? 기울기는 39이므로 m값이 1만큼 증가하면 p값은 39만큼 증가할 것입니다 따라서 총 지불 금액은 239입니다 그 다음 달에는 278달러를 지불해야 할 것입니다 축의 변수를 x,y로 잡지는 않았지만 일차함수가 어떻게 쓰였는지는 이해가 갈 것입니다 따라서 우리가 달마다 총 얼마를 지불해야 하는지에 대한 그래프는 이렇게 그려질 것입니다 누군가 '1년 동안 체육관을 다니면 총 얼마를 지불해야 하나요?' 라고 묻는다면 1년은 12개월이므로 우리는 m축상에서 1,2,3에서부터 12까지 이동해야 합니다 그러면 여기 쯤 될 것입니다 그러면 p값은 여기 쯤에 있을 것입니다 이것을 식만을 사용해서 구해 봅시다 체육관을 1년동안 사용하면 m값은 12일 것입니다 m이 12라면 총 지불해야 하는 금액은 얼마일까요? 총 금액은 처음에 지불하는 금액 200달러에 (39x체육관을 이용한 월의 수)를 더하는 것입니다 즉, 200에 39x12를 더한 것입니다 39 곱하기 12의 값은 얼마인가요? 2 곱하기 9는 18이고 3에 2를 곱하고 1을 더하면 7이므로 70이 됩니다 여기에는 0이 있습니다 1에 9를 곱하면 9입니다 1 곱하기 3, 여기 있는 것은 무시하고, 1 곱하기 3은 3입니다 따라서 여기는 8이 있고 7 더하기 9는 16입니다 1 더하기 3은 4입니다 멤버십을 가입하고 유지시키기 위해서는 200에 39x12를 더해야 하는데 39 곱하기 12는 468이므로 총 668달러를 지불해야 합니다 이 그래프에서 12까지 갔다면 아마 저기 668에 그래프를 그렸어야 할 것입니다 아마 저기 668에 그래프를 그렸어야 할 것입니다 다음 응용문제를 풀어 봅시다 바비와 페트라는 레모네이드를 팔고 있는데 레모네이드 1잔마다 0.45달러를 받는다고 합니다 본전치기를 하기 위해서는(즉, 손익분기점을 넘기기 위해서는) 25달러를 얻어야 합니다 그렇다면 본전치기를 하기 위해서는 몇 잔의 레모네이드를 팔아야 할까요? 미지수를 x와 y라고 둡시다 y는 그들이 레모네이드를 팔아서 얻는 금액을 의미합니다 x는 그들이 파는 레모네이드 잔의 수를 의미합니다 그렇다면 y를 어떻게 x로 표현할 수 있을까요? 한 잔을 팔 때마다 0.45달러를 받으므로 y는 그들이 파는 총 레모네이드 잔의 수에 0.45를 곱한 값입니다 사람들이 레모네이드를 마시기 위해 가입비 같은 비용을 낼 필요도 없고 이 가게를 운영하기 위해 별다른 비용이 들지도 않습니다 그렇다면 손익분기점에 도달하기 위해선 레모네이드를 몇 잔을 판매해야 할까요? 그들은 최소 25달러를 벌어야 합니다 즉 손익분기점에 도달하기 위해서는 최소 25달러 어치의 레모네이드를 팔아야 합니다 그렇다면 몇 잔의 레모네이드를 팔아야 할까요? y는 25달러가 되어야 합니다 몇 잔의 레모네이드를 팔아야 할까요? 먼저 식을 세워 보도록 합시다 0.45x는 25가 되어야 하므로 양변을 0.45로 나누면 좌변에는 x만 남습니다 x는 우변에 있는 25를 0.45로 나눈 값인데, 이는 얼마일까요? 약 55.55가 됩니다 즉 어림하면 56잔을 팔아야 합니다 정확히는 55.55잔 정도를 팔아야겠지요 그런데 레모네이드를 반 잔을 팔 수는 없습니다 적어도 이 문제에선 그렇게 생각해야 합니다 따라서 답은 레모네이드 56잔입니다 우리는 레모네이드 반 잔을 팔 수 없다고 생각하고 있으므로 본전치기를 하기 위해서는 적어도 56잔을 팔아야 합니다 이것을 그래프로 그려보면-- 이 식은 위의 문제와 마찬가지로 제1사분면 안에서만 그려집니다 왜냐하면 모든 것은 양수로 표현될 것이기 때문입니다 그들이 파는 레모네이드 한 잔의 값은 0.45달러 입니다 그들이 파는 레모네이드 잔의 수를 x잔이라고 두고 여기 y값을 그들이 버는 금액이라고 얻은 수익이라고 합시다 x축에 5의 배수만 표현해 보도록 합시다 5, 10, 15, 20, 25 그런데 손익분기점에 도달하기 위해서는 x축 위에 표현되는 값 사이의 간격이 더 커야 합니다 그러니 10의 배수로 표시해봅시다 10, 20, 30, 40, 50, 60 따라서 이만큼의 레모네이드 잔을 판다고 합시다 그들이 레모네이드 0잔을 판다고 하면 0달러를 법니다 그것이 y절편입니다 그러니 y절편에서의 y값은 0입니다 그들이 10잔을 팔면 4.50달러를 법니다 따라서 이 점은 4.50이 됩니다 여기는 9이고 그냥 이렇게 해 봅시다 y축의 값에 9의 배수만 표시해 볼게요 여기 9, 18, 27, 36이라고 쓰겠습니다 10잔을 판다면 4.50달러를 벌 것입니다 4.5x10달러 말입니다 4.5는 그래프에서 이 점입니다 20잔을 팔면 9달러를 법니다 계속 이런 식으로 하면 40잔을 팔았을 때 18달러를 법니다 자, 이제 기울기가 보이죠? x값이 10만큼 늘면 y값은 4.5만큼 증가합니다 그래프는 이런 모양이 될 것입니다 그래프는 직선이어야 합니다 손익분기점에 도달하려면 25달러에 도달해야 하므로 이는 여기 쯤 됩니다 직선을 다시 그려보면 직선은 이런 형태일 것입니다 25달러가 손익분기점이라면 이 지점일 것이고 그들은 56잔을 팔아야 합니다 이 그래프를 예쁘고 깔끔하게 그리지는 않았지만 아마 전체적인 개념 이해에는 도움이 될 것입니다