일차함수 문제 해결하기: 페인트

(문제)히로는 자신의 방을 1시간당 8제곱미터의 속도로 칠했습니다 3시간 동안 칠한 후에 칠할 공간이 28제곱미터 남았습니다 그러니까 3시간 후에 28제곱미터가 남았다는 거죠 그러니까 우리가 칠한 공간이 아니라 앞으로 더 칠해야 하는 공간을 말하는 거죠 A(t)가 칠할 공간을 가리킨다고 합시다 A(단위는 제곱미터)는 시간t (단위는 시간)에 대한 함수입니다 다시, A(t)는 우리가 이미 칠한 공간이 아니라 칠해야 하는 공간이죠 함수식을 세우세요 그래서 제가 여기서 하고 싶은 건 여기서 몇 가지만 생각해 봅시다 말을 조금 더 실질적으로 바꿔 볼게요 다른 색깔로 시간이 달라질 때 A(t)의 값을 생각해 봅시다 그래서 이건 시간이고 이건 시간에 대한 t의 함수에요 그리고 문제에서 경우를 하나 줬어요 문제에서 3시간 동안 칠한 후에 28제곱미터가 남았다고 했죠 다시 한번 A(t)는 이미 칠한 게 아니라 우리가 칠해야 할 넓이예요 그래서 여기 다른 값들을 적을 공간을 남겨둘게요 0,1,2 같은 그러니까 3시간 후엔 28제곱미터가 남은 거죠 여기서 시간은 1시간 단위이고 넓이는 제곱미터 단위예요 그런데 문제에서 시간당 8제곱미터의 속도라고 했죠 그러니까 그 전으로 한 번 가 볼게요 예를 들어 2시간 후에는 칠해야 할 공간이 얼마나 남았을까요? A(t)의 값은 얼마였을까요? 28보다 큰 값이었을까요? 아니면 28보다 작은 값이었을까요? 그는 시간당 8제곱미터를 칠하고 있죠 그러니까 시간이 늘어날수록 더 칠하고 있는 거예요 그런데 A(t)는 칠한 양이 아니라 칠해야 할 공간이라는 거에요 그러니까 그는 시간이 갈수록 칠해야 할 양이 줄어들겠죠 즉 시간이 커질수록 시간이 증가할수록 A(t)는 감소해야 해요 다시 말해서 2시간을 칠했을 때 그는 3시간을 칠했을 때보다 칠할 게 더 많이 남았겠죠 왜냐면 기억하세요, A(t)는 칠해야 할 공간이니까요 그러니까 3시간에 비해 2시간을 칠했을 때 얼마나 더 많이 남아 있을까요? 문제에서 시간당 8제곱미터를 칠한다고 주어졌죠 그러니까 2시간과 3시간 사이에 그는 8제곱미터를 더 칠했을 거고 2시간을 칠했을 땐 8제곱미터가 더 남았겠죠 그래서 여기에 8을 더하면 36이 되네요 즉 그에게는 2시간 후에 36제곱미터가 남아 있을 겁니다 그러면 1시간을 칠했을 때는 어떨까요? 1시간 후엔 8제곱미터가 더 남았을 거니까 36 더하기 8은 44죠 그러면 0시간에는 얼마나 남았을까요? 그러면 또 다시 8제곱미터를 더 칠해야 하니까 44 더하기 8은 52죠 이게 말이 되는지 생각해 볼게요 만약 시작할 때 칠해야 할 면적이 52제곱미터였다면 여기서 1시간이 더 지나고 그러니까 시간의 변화는 1이고 칠할 공간은 8이 줄어들죠 A의 변화율은 마이너스 8과 같죠 이건 말이 되죠 변화율이 음수여야 하니까요 왜냐하면 시간이 늘어날수록 공간은 줄어들거든요 이건 굉장히 흥미로웠죠 우리가 실제로 관계식을 세울 수 있는지 봅시다 이 함수를 나타내는 관계식을요 이 현상은 일정한 비율로 일어나고 있죠 t가 1씩 늘어날 때 A(t)는 8씩 줄어들고 있어요 t가 1이 늘어났고 A(t)는 8이 줄었죠 문제에서 그렇게 말해주고 있어요 시간당 8제곱미터씩 칠한다고 했으니까요 그래서 여러분이 일정한 비율로 일어나는 일을 나타내려고 할 때 일차함수를 사용할 수 있어요 그리고 일차함수는 이러한 형태를 가집니다 A(t)는 (변화율) 곱하기 (시간) 더하기 시작한 지점과 같다 여기서 m이나 b같은 글자는 그냥 주어진 변화율 또는 그래프를 그린다면 기울기 그리고 b는 시작한 지점, 그러니까 수직축과의 교점을 말할 때 사람들이 쓰곤 하는 거예요 우리가 y에 대한 식을 푼다면 이건 y절편이 될 거고 여기서처럼 A에 대한 거라면 이건 A절편이겠죠 실제로 이걸 그래프로 그릴 때 이건 A축과 어디서 접하는지 알 수 있게 해 주겠죠 그런데 우리는 실제로 이것들을 알고 있어요 우린 변화율을 알고 있죠 그건 마이너스8이에요 제 말은, "기울기가 뭐지?" 하고 묻는다면 기울기는 (t의 변화율) 분의 (A의 변화율)이예요 A의 변화율 다르게 해볼게요 그냥 재미로 다른 색깔로 그러니까 기울기는 종속변수의 변화율이 분자이고 독립변수의 변화율은 분모인 거죠 그리고 그건 바로 마이너스8이예요 문제가 그렇게 말해주죠 마이너스8과 같아요 그래서 여기 이게 마이너스8과 같고 그리고 b는 A(0)과 같을 거에요 A(0) t가 0과 같을 때 이건 사라져 버리고 A(0)은 b와 같게 되죠 그리고 우린 A(0)이 뭔지 알아요 그건 52와 같죠 그래서 우린 여기 이게 52와 같다는 걸 알아요 그러면 됐네요! 재미로 한번 더 써 볼게요 A(t), 즉 시간에 대한 함수로써 칠해야할 공간은 마이너스 8 곱하기 시간 더하기 52와 같죠 그리고 각각의 요소가 들어맞는지 검산해 볼 수도 있어요 왜냐면 이 마이너스 8은 그냥 제가 각 부분을 한 번에 써 볼게요 생각해 볼 만한 중요한 부분이니까요 시간에 대한 함수인 공간(A)은 이건 그가 칠해야 할 공간이예요 마이너스 8 제곱미터/시간 다시, 마이너스 8 제곱미터/시간 곱하기 t시간 h가 아니라 hours라고 쓸게요, 여러분이 이걸 변수로 착각하지 않게 t시간, 시간을 여기에 쓸게요 t시간 더하기 52제곱미터와 같아요 바로 여기에 할게요 색을 바꾸는 게 어렵네요 더하기 52 제곱미터 그래서 여기 보시면 시간을 시간으로 나누었으니까 나누어 떨어지고 제곱미터만 남겠죠 그래서 마이너스8t제곱미터가 남을 거고 여기에 52제곱미터를 더하니까 결국 A(t)는 제곱미터로 나오겠죠 이 문제를 풀 수 있는 다른 방법들이 있어요 여러분은 바로 이렇게 말했을 수도 있죠 "자 봐, 변화율은 시간당 8제곱미터야" 하지만 거기서 굉장히 조심해야 돼요 거기서 여러분은 "내 변화율이 플러스 8제곱미터일지도 몰라" 라고 생각할 수도 있으니까요 하지만 제대로 봐야 해요, A는 그가 칠하고 있는 양이 아니라 칠해야 할 공간이예요 그러니까 그가 칠해야 할 공간은 시간당 8제곱미터의 속도로 감소하고 있죠 그래서 여러분은 바로 이렇게 말했을 수도 있어요 "내 함수식은 이렇게 될거야 A(t)는 마이너스 8 곱하기 t 더하기 어떤 b" 그런 다음에 여러분은 여기 있는 이 정보를 이용해 b를 구했을 수도 있죠 "t가 3일 때, A는 28이야" 이렇게요 여기 이 정보를 이용해서 여기에 대신했을 수도 있어요 그러니까, t가 3일 때, 여기 이게 3일 때 A(t)는 28이예요 그래서 여러분은 28이 마이너스 8 곱하기 3, 즉 마이너스 24, 더하기 어떤 b와 같다고 얻었을 수 있죠 그런 다음 여러분은 양변에 24를 더해서 28 더하기 24는 52라는 걸 알았겠죠 그리고 우변에는 b만 남으니까요 그래서 b는 52라는 걸 알았을 수 있어요 우리가 저기서 구한 것과 똑같이 저는 여러분이 진짜로 개념을 이해하도록 하기 위해서 이렇게 하는 걸 좋아해요 그래야 어떻게 된 건지 확실히 이해할 수 있겠죠