일차함수 비교 문제 해결하기: 등산

닉과 알리사는 벽타기 시합을 하고 있습니다 알리사의 높이는 a = (1/3)t + 5입니다 두 사람 모두 벽타기를 좋아하나 보네요 a는 t초 후의 알리샤의 높이를 피트로 나타낸 값입니다 닉은 알리사와 동시에 벽을 타기 시작했고 일정한 속력으로 벽을 오르고 있습니다 닉의 초당 높이(피트)는 아래의 표에 주어졌습니다 두 사람 중 더 높은 곳에서 출발한 사람은 누구일까요? 이를 구하기 위해서는 시간이 0일 때의 높이를 구하면 됩니다 그 지점이 바로 시작점이 되죠 알리사의 경우에는 바로 구할 수 있어요 시간이 0일 때 1/3 · 0 + 5이므로 5피트가 되겠죠 따라서 시간이 0일 때 알리사가 출발한 지점의 높이는 5피트입니다 이제 시간이 0일 때 닉의 높이를 구해 봅시다 이를 구하는 방법은 다양합니다 이 표를 이용해 거꾸로 추론할 수도 있죠 t가 시간이고 n이 닉의 높이라고 합시다 알리사의 높이는 a로 표현했었죠? 여기에 작은 표를 하나 그려 볼게요 시간이 6일 때 즉, 6초가 지난 후에 닉이 매달려있는 지점의 높이는 6피트입니다 시간이 8일 때는 7피트 지점에 매달려 있어요 그리고 시간이 10일 때는 8피트 지점에 매달려 있습니다 이는 무엇을 의미할까요? 시간이 2초씩 늘어날 때마다 닉의 매달려있는 지점의 높이는 1피트씩 증가합니다 다시 한 번 시간이 2초 증가하면 닉의 높이는 1피트가 증가하죠 그러면 거꾸로 4초에서 2초를 빼면 닉의 높이는 1피트 줄어들 거예요 2초를 한 번 더 빼면 1피트가 더 줄어들겠죠 닉의 속력이 일정하기 때문에 이렇게 구할 수 있는 거예요 여기서 2초를 더 빼면 출발한 시간이 되며 닉이 3피트 지점에서 출발했다는 것을 알 수 있어요 따라서 시간이 0일 때 닉의 높이는 3피트가 됩니다 따라서 알리사는 닉보다 높은 곳에 있었네요 답은 두 번쨰 선택지입니다 이 문제는 알리사의 공식처럼 닉의 높이 공식을 만들어서 그 식에 0을 대입해서 풀어줄 수도 있습니다 닉의 높이를 시간에 대한 함수로 나타내면 일차함수가 됩니다 두 사람의 속력은 일정하다고 주어졌으므로 닉의 속력도 일정하기 때문이죠 닉의 높이를 시간에 대한 함수로 나타내면 기울기는 초당 높이의 변화율이며 이 값과 시간을 곱한 값에 처음 시작한 위치의 높이를 더해준 값이 될 거예요 여기서 기울기 m과 닉이 출발한 곳의 높이를 어떻게 구할 수 있을까요? 기울기는 시간당 높이의 변화율이므로 어떤 시간 동안 높이가 얼마나 변하는지 구하면 되곘죠 m을 구해 봅시다 m은 시간의 변화에 따른 높이의 변화량이므로 m = Δn/Δt입니다 n은 닉의 높이를 나타냅니다 위에서 구했듯이 시간이 2만큼 증가할 때 닉의 높이는 1피트씩 증가합니다 그러므로 m = 1/2입니다 닉은 초당 1/2피트를 올라갑니다 표를 보면 닉이 1피트를 올라가는 데 2초 걸리죠 이렇게 m을 구해 보았습니다 그러므로 n = (1/2)t + b입니다 이제 b를 구하기 위해 이 좌표 중 하나를 대입해 봅시다 여기있는 모든 좌표들은 이 식을 만족해야 합니다 t = 6을 대입해 볼까요? 이 식에 t = 6을 대입해 봅시다 t = 6일 때 n = 6이었죠? 그러므로 식은 6 = 1/2 · 6 + b가 됩니다 이를 계산하면 6 = 3 + b입니다 양변에서 3을 빼면 b = 3을 구할 수 있죠 이렇게 닉의 높이를 시간에 대한 함수로 구해 보았습니다 닉의 높이 함수는 n = (1/2)t + 3입니다 이제 알리사와 같은 공식이 생겼네요 이 식에 t = 0을 대입하면 닉의 높이는 3이 되며 이는 알리사의 시작점보다 낮다는 것을 알 수 있습니다