관계와 함수의 차이

밑의 순서쌍들의 관계는 함수일까요? 우리가 문제를 풀기 전에 관계가 무엇이고, 어떤 관계가 함수가 되는지 복습해 봅시다 관계에서 관계에 대입 가능한 값들이 있습니다 그 값들을 정의역이라 합니다 관계를 정의하는 값들의 집합인 셈이지요 관계의 결과로 나올 수 있는 값들 혹는 정의역과 관계를 맺는 값들을 공역이라 합니다 이는 매우 간단합니다 예를 들어, 1이라는 숫자가 정의역에 포함되어있고 정의역의 1을 공역의 2와 연결시킨다고 생각해 봅시다 위와 같은 표기로 나타낸다면 이 관계는 (1,2) 을 가지고 있고 그리고 이는 그림과 같은 것을 나타냅니다 이 관계에서, 정의역에 2가 있고 정의역의 2가 공역의 2와 연결될 수 있습니다 결국 2도 2와 대응이 됩니다 보면, 저는 지금 여러가지 관계를 만들고 있는데 위에서는 그림으로 나타내고 있고 아래에서는 순서쌍으로 표현하고 있습니다 또한 3은 정의역에 포함되어 있으므로 3이라는 값을 위한 관계가 있는데 3이 대응하는 수가 -7이라 생각합시다 그러므로 (3,-7) 이 됩니다 그래서 이러한 관계에서는 정의역에 있는 어떠한 숫자를 말해도 공역의 어떠한 값이 대응하는지 말할 수 있는 경우일 때 이를 함수라 표현합니다 잠시 후에 함수가 아닌 관계를 보여주겠습니다 여기에서 정의역의 어떠한 숫자를 고르더라도 함수가 관계일 뿐이기 때문에 혹은 그저 정의역의 값과 공역의 값을 연관짓는 것 뿐이기 때문에 정의역의 어떤 값을 대입해도 공역의 어떠한 숫자와 대응하는지 알 수 있습니다 1을 대입하면 2와 대응하고 2를 대입하면 2와 대응합니다 3을 대입하면 -7과 대응합니다 이런 관계를 함수라 합니다 그럼 함수가 아닌 예시를 보여드리겠습니다 이런 것을 상상해 봅시다 그럼 정의역을 그려 봅시다 이런 구름 모양으로 나타내서 정의역 전체를 나타내는 것이 아니라 몇 개의 수만 예시로 나타내겠습니다 이 구름모양이 공역이라고 가정해봅시다 이런 관계에서 위와 같은 방식으로 관계를 만들겠습니다 이 관계에서 1은 2와 대응됩니다 순서쌍의 집합을 써보도록 하죠 1은 2와 대응되고 2는 -3과 대응된다고 가정해볼까요? (2,-3) 이 있고 그리고 1을 4와 대응시켜 봅시다 1과 4사이의 관계를 만든 셈이지요 그러면 (1, 4)라는 순서쌍을 얻게 되었네요 자, 이렇게 관계를 만들었습니다 만약 이것이 관계의 전부라면 이 상황에서 정의역은 1과 2입니다 관계이긴 하지만, 함수는 아닙니다 함수가 아닌 이유는 1은 무슨 숫자와 대응하나요? 라고 물었을때 여기선 답을 알 수 없습니다 2일 수도 있고, 4일 수도 있습니다 둘 다 답이 될 수 있습니다 그래서, 정확한 관계가 아닙니다 1을 대입할 때 2 또는 4가 나온다면 이건 함수라 할 수 없습니다 함수라면 1을 대입하면 2가 나와야 하고 2를 대입하면 2가 나와야 합니다 그럼 이제 문제를 해결해 보겠습니다 먼저 정의역과 공역을 생각해봅시다 이 것의 정의역은 x의 값, 또는 대입할 수 있는 값들의 집합입니다 함수인지 아직 판별하지 않았지만, 일단 "관계"라 부릅시다 -3 ,-2, 0을 대입할 수 있어요 -2 또한 대입할 수 있겠죠. 아, 이미 말하긴 했지만 그리고 3도 대입할 수 있어요 -3, -2, 0, 3이 대입가능한 숫자, 즉 정의역에 포함된 값입니다 저 수들을 관계 속에 대입하면 특정 결과를 얻을 수 있지요 반면에 이 값들은 공역을 이루고 있습니다 정의역의 값을 대입했을때 나오는 결과가 치역을 이루는 거죠 공역은 2, 4, 5 2, 4, 5, 6, 그리고 8 2, 4, 5, 6, 8 그림으로 표현할 수 도 있지만 여기에 치역과 정의역에 있는 값을 나열했습니다 자, 이제 대응 관계를 그려봅시다 -3은 2에 대응합니다 순서쌍에 따르면 -3은 2로 대응하는거죠 -2는 4와 대응합니다 순서쌍에 따르면 -2는 4와 연결되요 저 첫번째 순서쌍은 헷갈릴 수 있으니 순서쌍 주위에 네모상자를 그릴게요. 이 순서쌍에 의하면 -3은 2와 대응됩니다 -2는 다른 색으로 할게요 -2는 4와 대응되요 -2는 4와 대응되는거에요 0은 5와 대응됩니다 가끔씩 0은 5와 연결되었다고도 하죠 -2는 6과 연결됩니다 흥미롭게도 -2는 이미 다른 숫자와 연결되어있는데 이 순서쌍을 보니 새로운 숫자와도 연결되있네요 6과도 연결되어 있네요 마지막으로, 새로운 색깔로 표시해볼게요 물론 거의 모든 색을 이미 쓰긴 했지만 3은 8과 연결합니다 3은 8과 연결되는거죠 이게 과연 함수일까요? 함수가 되기 위해선 정의역의 어떤 값이 무슨 값과 대응되는지 정확히 알아야되요 한마디로, 치역의 단 한가지 값과 대응해야되는거죠 -3을 예로 들어보자면 -3을 대입하면 2라는 값과 대응된다는걸 확실히 알 수 있죠 그러나, -2를 대입한다면 값자기 헷갈리기 시작하는거죠 4랑 대응되는건가? 아니면 6과 대응되는건가? 한마디로 4가 나올지 6이 나올지 모르는거죠 이런 혼란이 생기기 때문에, 함수가 아닙니다 정의역의 어떤 값이 치역의 여러가지 값과 대응되므로 함수가 아닙니다