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두 좌표를 이용하여 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식 구하기

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점 (-1, 6)과 (5, -4)를 지나는 직선의 방정식은 무엇일까요? 한번 그려 봅시다 x축과 y축을 그려 볼게요 이런 문제를 풀 때 이렇게 그려보면 도움이 됩니다 첫번째 점은 (-1, 6)이므로 x축으로 -1만큼 이동하고 y축으로 6만큼 이동합니다 이 점이 바로 (-1, 6)입니다 다른 한 점은 (5, -4)입니다 x축으로 5만큼 이동하고 y축으로 -4만큼 이동합니다 (5, -4)는 이 점이 되겠죠 두 점을 이으면 이렇게 됩니다 점선으로 표시해 볼게요 그럼 직선의 방정식을 찾아 봅시다 먼저 기울기를 찾아 볼까요? y = mx + b 꼴이 기억나시죠? 기울기가 m이고 y절편이 b인 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식입니다 먼저 이 직선의 기울기 m을 구해 봅시다 기울기 m은 y값의 변화량/x값의 변화량 또는 끝점의 y값에서 시작점의 y값을 뺀 값을 끝점의 x값에서 시작점의 x값을 뺀 값으로 나눈 것과 같습니다 다시 정리해보면 기울기 m은 Δy/Δx 또는 y값의 변화량/x값의 변화량과 같으며 y의 값의 변화량을 나타내는 y₂ - y₁을 x의 값의 변화량을 나타내는 x₂ - x₁으로 나눈 것과 같습니다 이때 시작점의 좌표는 (x₁, y₁)이고 끝점의 좌표는 (x₂, y₂)입니다 주어진 두 점 중 하나는 시작점, 하나는 끝점으로 정해 보겠습니다 (-1, 6)을 시작점, (5, 4)를 끝점으로 두겠습니다 y의 값의 변화량을 구해 봅시다 시작점의 y값 6에서 끝점의 y값 -4까지 내려가면 바로 이 부분이 y의 값의 변화량이 됩니다 이 그래프를 보면 시작점에서 끝점까지 10만큼 이동했죠 이 식에 대입해도 결과는 같습니다 끝점의 y값 -4에서 시작점의 y값 6을 빼 봅시다 -4가 끝점의 y값 y₂이고 6이 시작점의 y값 y₁입니다 그러므로 y₂ - y₁ 즉 -4 - 6 = -10입니다 y의 값의 변화량은 시작점에서 끝점으로 이동했을 때 아래로 내려가야 하므로 부호가 음수가 된 것입니다 이제 x의 값의 변화량을 구해 봅시다 그래프를 보면 -1에서 5까지 이동해야 합니다 -1에서 0까지 이동하고 5만큼 더 이동한 것이므로 x의 값의 변화량은 6이 됩니다 그래프에서도 확인할 수 있지만 공식을 이용할 수도 있죠 끝점의 x값이 5이고 시작점의 x값이 -1이므로 x₂ - x₁은 5 - (-1)이 되며 이는 5 + 1이 됩니다 따라서 기울기는 -10/6이고 분자와 분모를 2로 약분하면 -5/3가 됩니다 식을 정리해 보면 y = (-5/3)x + b가 됩니다 이때 -5/3는 기울기입니다 이제 이를 이용해 y절편을 구해 봅시다 이미 알고 있는 정보를 이용해 볼 거예요 직선을 지나는 두 점이 주어졌으므로 그중 (-1, 6)을 이용해 봅시다 다른 점을 이용할 수도 있어요 이 점은 x가 -1일 때 y가 6이 된다는 의미입니다 그러므로 6 = (-5/3)(-1) + b입니다 점 (-1, 6)의 값을 아까 구한 식에 대입했습니다 이제 b를 구할 수 있습니다 식을 정리해보면 6 = 5/3 + b입니다 양변에서 5/3를 빼 보겠습니다 좌변에도 5/3를 빼주고 우변에도 5/3를 빼줍니다 6 - 5/3는 무엇일까요? 공통분모를 갖도록 6을 분수로 바꿔주면 6 - 5/3는 18/3 - 5/3와 같습니다 6의 분모를 3으로 두면 18/3이 되죠 이를 계산하면 좌변은 13/3이 됩니다 우변을 계산해주면 5/3가 소거되어서 b는 13/3과 같다는 것을 알 수 있습니다 이렇게 기울기와 y절편을 구했습니다 따라서 직선의 방정식은 y = (-5/3)x + 13/3입니다 13/3을 대분수로 바꾸면 그래프에 나타내기 쉬워집니다 13/3은 4와 1/3이므로 y절편은 여기 있습니다 y절편의 좌표는 (0, 13/3) 또는 (0, 4와 1/3)입니다 그래프를 그리면 대충 이런 모양이 됩니다 그리고 기울기 -5/3은 -(1 + 2/3)으로 나타낼 수 있죠 기울기가 음수이므로 그래프는 감소하는 형태이며 이 직선의 기울기는 -1보다는 가파르고 -2보다는 완만합니다 -5/3는 대분수로 나타내면 -(1 + 2/3)이기 때문이죠 여기까지 입니다