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주요 내용

기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이란? (중등2학년)

미지수가 두 개인 일차방정식의 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 꼴에 대해 배워 보고, 어떻게 이 직선의 기울기와 y절편을 찾을 수 있는지 알아봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

이번 단원에서 배우는 것

  • 미지수가 2개인 일차방정식을 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이란?
  • 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식에서 직선의 기울기와 y절편을 찾는 방법
  • 직선의 기울기와 y절편이 주어졌을 때, 직선의 방정식을 구하는 방법

기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이란?

기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의식은 일차방정식의 특정한 형태로 다음과 같이 나타냅니다.
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
여기서 start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6start color #0d923f, b, end color #0d923f는 실수입니다. 예를 들어, 다음은 일차방정식을 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식입니다:
하지만, 다음과 같은 방정식들은 기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식이 아닙니다:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
일차방정식을 기울기와 y절편을 이용하여 나타내는 것은 아주 잘 알려진 형태입니다. 이에 대해 더 자세히 알아봅시다.

기울기와 y절편으로 나타낸 일차함수의 식의 계수

기울기와 y절편으로 나타낸 일차함수 식은 간단하며 직선이 나타내는 주요 특징 두 가지를 알 수 있습니다.
  • 직선의 기울기는 start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6입니다.
  • y절편의 y좌표는 start color #0d923f, b, end color #0d923f입니다. 즉, 직선의 y절편은 left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis에 있습니다.
예를 들어, 직선 y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f의 기울기는 start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6이고, y절편은 left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis입니다.
이처럼 이 형식에서 기울기와 y절편을 알 수 있기 때문에, 이 형식을 기울기와 y절편으로 나타낸 일차함수의식이라고 부르는 것입니다.

이해했는지 확인하기

연습문제 1
y, equals, 5, x, minus, 7이 나타내는 직선의 기울기를 구하세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

연습문제 2
y, equals, x, plus, 9가 나타내는 직선의 기울기를 구하세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

연습문제 3
y, equals, minus, 6, x, minus, 11이 나타내는 직선의 y절편을 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 4
y, equals, 4, x가 나타내는 직선의 y절편을 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 5
y, equals, 1, minus, 8, x이 나타내는 직선의 기울기를 구하세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

연습문제 6
y절편이 left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis인 직선을 고르세요.
해당하는 답을 모두 고르세요:
해당하는 답을 모두 고르세요:

복습문제
기울기와 절편 형태의 직선의 기울기를 어떻게 구할 수 있을까요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

심화문제 1
이들 중 어떤 것이 직선의 방정식이 될 수 있을까요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

심화문제 2
기울기가 10이고 y절편이 left parenthesis, 0, comma, minus, 20, right parenthesis인 직선의 방정식을 구하세요.

왜 이렇게 될까요?

기울기와 y절편을 이용하여 나타낸 일차함수의 식에서 어떻게 start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6이 기울기를 나타내며, start color #0d923f, b, end color #0d923fy절편을 나타낼까요?
마법은 절대 아닙니다. 수학에서는 항상 타당한 이유가 있어요. 이번에는 방정식 y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f을 이용해 자세히 살펴봅시다.

start color #0d923f, b, end color #0d923f가 왜 y절편을 나타낼까요?

y절편에서 x값은 항상 0입니다. 그러므로 y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f에서 y절편을 찾으려면, x, equals, 0을 대입한 뒤 y에 대해 식을 풀어주면 됩니다.
y=2x+1=20+1대입하기 x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{대입하기 }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
y절편에서 start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x0이 된다는 것을 확인했습니다. 이제 y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f만 남았습니다.

start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6이 기울기를 나타낼까요?

기울기가 무엇인지 다시 한번 떠올려 봅시다: 기울기는 직선 위에 있는 임의의 두 점 사이에서 x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비입니다.
start text, 기, 울, 기, end text, equals, start fraction, y, start text, 값, 의, space, 변, 화, 량, end text, divided by, x, start text, 값, 의, space, 변, 화, 량, end text, end fraction
x의 값의 증가량이 1인 두 점이 있을 때, y의 값의 증가량이 기울기가 됩니다.
start text, 기, 울, 기, end text, equals, start fraction, y, start text, 값, 의, space, 증, 가, 량, space, end text, divided by, 1, end fraction, equals, y, start text, 값, 의, space, 증, 가, 량, space, end text
이제 방정식 y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f에서 x값이 일정하게 1씩 증가할 때, y값은 어떻게 되는지 알아봅시다.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
x1씩 증가할 때마다, ystart color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6씩 증가합니다. 왜냐하면, y의 계산식에서 xstart color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6의 개수를 결정하기 때문입니다.
위와 같이, x값이 1씩 증가할 때 y의 값의 증가량은 직선의 기울기와 같습니다. 그러므로 start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6은 항상 기울기를 나타냅니다.
심화문제 3
직선의 방정식을 써 보세요.
y, equals