주요 내용
미국 8학년
피타고라스 정리란?
아주 중요한 피타고라스 정리를 배워 봅시다! 만든 이: 살만 칸 선생님
대화에 참여하고 싶으신가요?
- 이 동영상 뭐라는건지 .... 파티고라스 정리 너무어려워요.중등3학년 꺼지만......(추천 6 번)
- 그럼 짧은 두 변이 5,12면 빗변은 몇이에요?13인가?아님 14?13이죠?아 헷갈린다(추천 3 번)
- 좀 쉽네요 제가 아직 초보긴 한데요..... 다음에는 좀더 아려운 강의로 해주세요(추천 2 번)
동영상 대본
이번에는 피타고라스 정리에
대해 배워 봅시다 피타고라스의 정리는 그 자체로도 매우 재미있지만
수학이라는 학문을 배우다보면 모든 분야에 기본적으로
작용하고 있다는 것을 알게 될 겁니다 기하학에서 유용하고
삼각법의 기본이며 점들의 사이의 거리를
구할 때에도 사용합니다 그러므로 이 개념을
확실하게 알아두셔야 해요 피타고라스의 정리가
무엇인지 알아봅시다 직각삼각형이
있다고 합시다 그 말은 삼각형의
세 각 중 하나가 90도라는 것이죠 작은 네모를 그려서
직각을 표시할 수 있습니다 따라서 이 각은
90도입니다 또는 직각이라고
부를 수 있습니다 직각을 가지고 있는 삼각형을
직각삼각형이라고 부릅니다 따라서 이 삼각형은
직각삼각형입니다 피타고라스의 정리에 따르면
만약 두 변의 길이를 안다면 항상 세 번째 변의
길이를 알아낼 수 있습니다 이 방법을 알아보기 전에
용어 하나를 더 알려드릴게요 직각삼각형에서
가장 긴 변은 90도, 즉 직각의
반대편에 있습니다 이 삼각형에서는 이 변이
가장 긴 변이겠죠 가장 긴 변을 향해
열려있는 각이 직각이며 가장 긴 변은
빗변이라고 부릅니다 빗변은 계속 쓰일 테니까
알아두는 것이 좋아요 빗변에 대해
더 알아보기 위해 직각삼각형을
더 그려 볼게요 삼각형을 그려 볼게요 이렇게 생긴 삼각형이
있다고 합시다 이 각의 크기는
90도입니다 그러면 이 변이
빗변이 되겠죠 90도와 마주 보고 있으며
가장 긴 변입니다 하나만 더
해 볼게요 이 직각삼각형에서
여기가 90도라고 합시다 마찬가지로 90도와
마주 보고 있는 변이 빗변입니다 가장 긴 변이죠 따라서 이 변이
빗변이 됩니다 찾은 빗변의 길이를
C라고 할게요 이제 피타고라스의 정리에
대해 알아봅시다 빗변의 길이는 C이므로 이 변을
C라고 합시다 이 변은 A라고 하고 이 변은 B라고 합시다 피타고라스의 정리는 짧은 변 중 한 변의
길이의 제곱인 A²과 다른 짧은 변의
길이의 제곱인 B²의 합이 빗변의 제곱인 C²과
같다는 것을 나타냅니다 이를 이용해
문제를 풀어 봅시다 이렇게 생긴 삼각형이
있다고 합시다 이렇게 생겼어요 이 부분이
직각입니다 이 변의 길이는 3이고
이 변의 길이는 4입니다 이 변의 길이를
구해 봅시다 피타고라스의 정리를
적용하기 전에 먼저 빗변을
찾아 봅시다 무엇을 구하려고 하는지
정확히 알아야 합니다 여기서는 빗변의 길이를
구하는 것이겠네요 이 변은 직각과
마주 보는 변이기 때문이죠 피타고라스의 정리에 따르면 이 변이 C이며
가장 긴 변입니다 이제 피타고라스의 정리를
적용해 보겠습니다 짧은 변들 중 한 변의
길이의 제곱인 4²과 다른 짧은 변의
길이의 제곱인 3²의 합은 가장 긴 변, 즉 빗변의
길이의 제곱과 같습니다 그러므로
4² + 3² = C²이 됩니다 이제 C를
구해 봅시다 4² = 4 × 4이므로
16이 되고 3² = 3 × 3이므로
9가 됩니다 따라서
16 + 9 = C²이 되겠네요 16 + 9 = 25죠 그러므로 C²은
25와 같습니다 양변에 근호를
씌웁니다 수학적으로만 본다면
-5가 될 수도 있겠지만 구하는 것은 길이이므로
양의 제곱근만 답이 될 수 있어요 양변에 근호를 씌우면 C가 5라는 것을
알 수 있습니다 가장 긴 변의 길이가
5라는 것을 알 수 있습니다 피타고라스의 정리를 사용하면 주어진 두 변의
길이를 이용해 길이를 모르는 세 번째 변의
길이를 구할 수 있어요 다른 문제를
풀어 봅시다 삼각형을 그려 볼게요 여기는 직각이고
이 변의 길이는 12입니다 그리고 이 변의 길이는
6이라고 합시다 이 변의 길이를
구해 봅시다 먼저 빗변을
찾아 봅시다 직각과 마주 보는 변이
빗변이 되겠죠? 여기 있는 직각의
반대편에 있는 이 변은 가장 긴 변이며
빗변입니다 피타고라스 정리에 대해
생각해보면 A² + B² = C²에서
C가 12이며 이 변이 빗변이라는
것을 알 수 있어요 C²은 빗변의 제곱과 같으므로
12 = C입니다 두 변 중 어느 변을
A라고 부르든지 상관없어요 이 변을 A라고 하면
A = 6이 되겠죠 이 변은 B이며
길이가 주어지지 않았죠 이제 피타고라스의 정리를
적용할 수 있습니다 6²과 길이가 주어지지 않은
변의 제곱인 B²의 합은 6² + B²이며 이는 빗변의 제곱인
C²과 같습니다 따라서
6² + B² = 12²입니다 이제 B를 구해 봅시다 아까와 달리 이번에는 짧은 변들 중 한 변의
길이를 구하는 것입니다 이전 문제에서는
빗변 C를 구했었죠 A² + B² = C²이며
C는 빗변의 길이였죠 이제 B를
구해 봅시다 6² = 36이므로
좌변은 36 + B²이 되겠죠 12² = 144이므로
식은 36 + B² = 144가 됩니다 이제 식의 양변에서
36을 빼 봅시다 좌변은 36이 소거되어
B²이 남습니다 우변의 144 - 36을
계산해 볼까요? 144 - 30 = 114이고 114에서 6을 빼면
108이 됩니다 따라서 우변은
108이 되겠죠 이것이 B²입니다 이제 양변에
근호를 씌우면 B는 √108이 됩니다 √108을 좀 더
간단히 만들어 봅시다 108을 소인수분해해서
간단히 만들어 볼 거예요 108 = 2 × 54이며 54 = 2 × 27이고
27 = 3 × 9입니다 그러므로 √108은
√(2 × 2 × 3 × 9)입니다 이때 9는 3 × 3으로
인수분해할 수 있으므로 √(2 × 2 × 3 × 3 × 3)입니다 여기 있는 제곱수를 이용해
더 깔끔하게 써 봅시다 제곱근을 간단히
만드는 과정은 피타고라스 정리에서
많이 보게 될 거예요 여기서 미리 해 보는
것도 나쁘진 않겠죠? √(2 × 2 × 3 × 3 × 3)은 √(2 × 2 × 3 × 3)에 √3을
곱한 것과 같습니다 꼭 이렇게 써서
계산할 필요는 없어요 암산으로
계산해도 됩니다 2 × 2 = 4고
4 × 9 = 36이죠 그러므로
√36 × √3이 되겠네요 √36은 6이죠 따라서 이 식을 간단히
나타내면 6√3입니다 따라서 B의 길이는
√108이라고 할 수 있으며 또는 6√3이라고
쓸 수도 있습니다 이 길이가 12이고
이 길이는 6입니다 √3의 값은 1보다
조금 큰 수입니다 그러므로 B는 6보다
조금 큰 값이 되겠죠