피타고라스 정리란?

이번에는 피타고라스 정리에 대해 배워 봅시다 피타고라스의 정리는 그 자체로도 매우 재미있지만 수학이라는 학문을 배우다보면 모든 분야에 기본적으로 작용하고 있다는 것을 알게 될 겁니다 기하학에서 유용하고 삼각법의 기본이며 점들의 사이의 거리를 구할 때에도 사용합니다 그러므로 이 개념을 확실하게 알아두셔야 해요 피타고라스의 정리가 무엇인지 알아봅시다 직각삼각형이 있다고 합시다 그 말은 삼각형의 세 각 중 하나가 90도라는 것이죠 작은 네모를 그려서 직각을 표시할 수 있습니다 따라서 이 각은 90도입니다 또는 직각이라고 부를 수 있습니다 직각을 가지고 있는 삼각형을 직각삼각형이라고 부릅니다 따라서 이 삼각형은 직각삼각형입니다 피타고라스의 정리에 따르면 만약 두 변의 길이를 안다면 항상 세 번째 변의 길이를 알아낼 수 있습니다 이 방법을 알아보기 전에 용어 하나를 더 알려드릴게요 직각삼각형에서 가장 긴 변은 90도, 즉 직각의 반대편에 있습니다 이 삼각형에서는 이 변이 가장 긴 변이겠죠 가장 긴 변을 향해 열려있는 각이 직각이며 가장 긴 변은 빗변이라고 부릅니다 빗변은 계속 쓰일 테니까 알아두는 것이 좋아요 빗변에 대해 더 알아보기 위해 직각삼각형을 더 그려 볼게요 삼각형을 그려 볼게요 이렇게 생긴 삼각형이 있다고 합시다 이 각의 크기는 90도입니다 그러면 이 변이 빗변이 되겠죠 90도와 마주 보고 있으며 가장 긴 변입니다 하나만 더 해 볼게요 이 직각삼각형에서 여기가 90도라고 합시다 마찬가지로 90도와 마주 보고 있는 변이 빗변입니다 가장 긴 변이죠 따라서 이 변이 빗변이 됩니다 찾은 빗변의 길이를 C라고 할게요 이제 피타고라스의 정리에 대해 알아봅시다 빗변의 길이는 C이므로 이 변을 C라고 합시다 이 변은 A라고 하고 이 변은 B라고 합시다 피타고라스의 정리는 짧은 변 중 한 변의 길이의 제곱인 A²과 다른 짧은 변의 길이의 제곱인 B²의 합이 빗변의 제곱인 C²과 같다는 것을 나타냅니다 이를 이용해 문제를 풀어 봅시다 이렇게 생긴 삼각형이 있다고 합시다 이렇게 생겼어요 이 부분이 직각입니다 이 변의 길이는 3이고 이 변의 길이는 4입니다 이 변의 길이를 구해 봅시다 피타고라스의 정리를 적용하기 전에 먼저 빗변을 찾아 봅시다 무엇을 구하려고 하는지 정확히 알아야 합니다 여기서는 빗변의 길이를 구하는 것이겠네요 이 변은 직각과 마주 보는 변이기 때문이죠 피타고라스의 정리에 따르면 이 변이 C이며 가장 긴 변입니다 이제 피타고라스의 정리를 적용해 보겠습니다 짧은 변들 중 한 변의 길이의 제곱인 4²과 다른 짧은 변의 길이의 제곱인 3²의 합은 가장 긴 변, 즉 빗변의 길이의 제곱과 같습니다 그러므로 4² + 3² = C²이 됩니다 이제 C를 구해 봅시다 4² = 4 × 4이므로 16이 되고 3² = 3 × 3이므로 9가 됩니다 따라서 16 + 9 = C²이 되겠네요 16 + 9 = 25죠 그러므로 C²은 25와 같습니다 양변에 근호를 씌웁니다 수학적으로만 본다면 -5가 될 수도 있겠지만 구하는 것은 길이이므로 양의 제곱근만 답이 될 수 있어요 양변에 근호를 씌우면 C가 5라는 것을 알 수 있습니다 가장 긴 변의 길이가 5라는 것을 알 수 있습니다 피타고라스의 정리를 사용하면 주어진 두 변의 길이를 이용해 길이를 모르는 세 번째 변의 길이를 구할 수 있어요 다른 문제를 풀어 봅시다 삼각형을 그려 볼게요 여기는 직각이고 이 변의 길이는 12입니다 그리고 이 변의 길이는 6이라고 합시다 이 변의 길이를 구해 봅시다 먼저 빗변을 찾아 봅시다 직각과 마주 보는 변이 빗변이 되겠죠? 여기 있는 직각의 반대편에 있는 이 변은 가장 긴 변이며 빗변입니다 피타고라스 정리에 대해 생각해보면 A² + B² = C²에서 C가 12이며 이 변이 빗변이라는 것을 알 수 있어요 C²은 빗변의 제곱과 같으므로 12 = C입니다 두 변 중 어느 변을 A라고 부르든지 상관없어요 이 변을 A라고 하면 A = 6이 되겠죠 이 변은 B이며 길이가 주어지지 않았죠 이제 피타고라스의 정리를 적용할 수 있습니다 6²과 길이가 주어지지 않은 변의 제곱인 B²의 합은 6² + B²이며 이는 빗변의 제곱인 C²과 같습니다 따라서 6² + B² = 12²입니다 이제 B를 구해 봅시다 아까와 달리 이번에는 짧은 변들 중 한 변의 길이를 구하는 것입니다 이전 문제에서는 빗변 C를 구했었죠 A² + B² = C²이며 C는 빗변의 길이였죠 이제 B를 구해 봅시다 6² = 36이므로 좌변은 36 + B²이 되겠죠 12² = 144이므로 식은 36 + B² = 144가 됩니다 이제 식의 양변에서 36을 빼 봅시다 좌변은 36이 소거되어 B²이 남습니다 우변의 144 - 36을 계산해 볼까요? 144 - 30 = 114이고 114에서 6을 빼면 108이 됩니다 따라서 우변은 108이 되겠죠 이것이 B²입니다 이제 양변에 근호를 씌우면 B는 √108이 됩니다 √108을 좀 더 간단히 만들어 봅시다 108을 소인수분해해서 간단히 만들어 볼 거예요 108 = 2 × 54이며 54 = 2 × 27이고 27 = 3 × 9입니다 그러므로 √108은 √(2 × 2 × 3 × 9)입니다 이때 9는 3 × 3으로 인수분해할 수 있으므로 √(2 × 2 × 3 × 3 × 3)입니다 여기 있는 제곱수를 이용해 더 깔끔하게 써 봅시다 제곱근을 간단히 만드는 과정은 피타고라스 정리에서 많이 보게 될 거예요 여기서 미리 해 보는 것도 나쁘진 않겠죠? √(2 × 2 × 3 × 3 × 3)은 √(2 × 2 × 3 × 3)에 √3을 곱한 것과 같습니다 꼭 이렇게 써서 계산할 필요는 없어요 암산으로 계산해도 됩니다 2 × 2 = 4고 4 × 9 = 36이죠 그러므로 √36 × √3이 되겠네요 √36은 6이죠 따라서 이 식을 간단히 나타내면 6√3입니다 따라서 B의 길이는 √108이라고 할 수 있으며 또는 6√3이라고 쓸 수도 있습니다 이 길이가 12이고 이 길이는 6입니다 √3의 값은 1보다 조금 큰 수입니다 그러므로 B는 6보다 조금 큰 값이 되겠죠