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여기 오각형으로 보이는 다각형이 있습니다 다섯 개의 변이 있으나 모든 변의 길이가 같지 않습니다 이 오각형에는 다섯 개의 외각이 있습니다 오각형의 외각의 합은 얼마일까요? 문제에는 아무런 정보도 주어져있지 않습니다 알고 있는 것을 이용해 차례차례 풀어 봅시다 외각들은 각각 해당하는 내각과 보각 관계입니다 외각을 내각에 대한 식으로 나타내면 문제를 쉽게 풀 수 있을 거예요 오각형 안에 내각을 표시해 봅시다 e까지는 이미 있으므로 이 내각은 f라고 하고 이 내각은 g, 이 내각은 h 이 내각은 i 이 내각은 j라고 합시다 이제 외각을 내각에 대한 식으로 바꿔 봅시다 a는 180 - g로 쓸 수 있겠죠? 왜냐하면 a와 g는 보각 관계이기 때문입니다 b를 내각에 대한 식으로 바꿔보면 180 - h가 되겠죠 이 둘도 보각 관계이기 때문입니다 따라서 b는 180 - h가 될 것입니다 계속해 봅시다 c는 180 - i로 쓸 수 있고 d는 180 - j로 쓸 수 있으며 e는 180 - f라고 쓸 수 있습니다 180 - g + 180 - h + 180 - i + 180 - j + 180 - f 식을 계산해 볼까요? 180은 총 다섯 번 더해졌죠? 180 × 5 = 900입니다 그리고 -g, -h, -i, -j, -f가 있죠 음의 부호를 앞으로 빼서 이를 다시 써주면 5 × 180 - (g + h + i + j + f)가 됩니다 이렇게 외각의 합을 내각의 합으로 바꿔 보았습니다 이 식은 900에서 모든 내각을 뺀 값이 되겠죠 이것은 내각의 합입니다 여기서 내각의 합을 어떻게 구할 수 있을까요? 먼저 이 다각형의 내부를 겹치지 않도록 세 개의 삼각형으로 나눠 봅시다 여기 변이 많은데 여기서 시작해서 이렇게 세 부분으로 나눠 볼게요 다른 색으로 그려 보겠습니다 선을 하나 그리고 선을 하나 더 그리면 세 개의 삼각형이 생기죠 이렇게 겹치지 않도록 세 개의 삼각형을 만들었어요 이렇게 나눈 이유는 삼각형의 내각의 합을 알고 있기 때문입니다 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것을 이용하기 위해 오각형의 각 내각을 여러 각의 합으로 나타내야 합니다 g는 삼각형의 내각이 되겠죠 f는 두 개의 삼각형의 내각이 됩니다 이 전체 각이 f예요 그러므로 f를 두 개의 다른 각으로 나타내야겠죠 f를 두 각의 합으로 나타내 봅시다 f를 k와 l로 쪼개면 f는 이웃하는 두 각인 k와 l의 합과 같아지겠죠 따라서 f = k + l이라고 할 수 있습니다 이렇게 하면 f를 두 개의 삼각형의 내각으로 만들 수 있죠 같은 방법으로 j도 두 개의 각으로 나눕니다 j는 m과 n으로 나눠 봅시다 그러므로 j = m + n이 되겠죠 마지막으로 h를 나눠 봅시다 h를 o, p, q로 쪼개면 h = o + p + q가 되겠죠 이렇게 오각형의 내각을 삼각형의 내각이 되도록 나눠 보았습니다 h = o + p + q와 같이 말이죠 이제 오각형의 내각의 합을 삼각형의 내각의 합으로 나타낼 수 있습니다 그러면 삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실을 이용할 수 있겠죠 계산해 볼까요? 위의 식에 두 각의 합으로 나타낸 내각을 대입해 봅시다 식을 다시 써 볼게요 g는 그냥 써주면 되겠죠? h에는 o + p + q를 대입해 줍니다 i는 그냥 써주고 j에는 m + n을 대입해 줍니다 그리고 f에는 k + l을 대입해 줍니다 따라서 식은 900 - (g + o + p + q + i + m + n + k + l)이 됩니다 이렇게 오각형의 내각의 합을 삼각형의 내각의 합으로 나타냈습니다 여기서 굉장히 흥미로운 일이 생기죠 이제 괄호 안의 값을 구할 수 있습니다 g + k + o = 180이라는 것을 알기 때문입니다 g, k, o는 왼쪽 첫 번째 삼각형의 내각이죠 g + k + o = 180 왼쪽 삼각형을 주황색으로 칠해 볼게요 이 삼각형의 내각은 g, o, k이며 세 각의 합은 180도이므로 세 각을 묶어서 180이라고 써 봅시다 가운데 삼각형은 보라색으로 칠해 볼게요 보라색 삼각형의 내각 p, l, m의 합도 180도가 되겠죠 p + l + m = 180이므로 p, l, m을 묶어서 180이라고 써 볼게요 마지막 삼각형의 내각인 q, n, i의 합도 180도가 됩니다 q + n + i = 180이므로 q, n, i를 묶어서 180이라고 쓰겠습니다 이 세 각의 합도 180도가 됩니다 이 불규칙한 오각형의 내각의 합을 구했습니다 사실 이 내각의 합은 모든 오각형에 적용됩니다 180 + 180 + 180 = 540 이제 외각의 합을 구하기 위해 이를 900에서 빼 봅시다 900 - 540 = 360 따라서 이 오각형의 외각의 합은 360도입니다