바스카라의 피타고라스 정리 증명

12세기 인도 수학자 바스카라가 했던 증명을 해 보겠습니다 정사각형 하나로 시작해 볼까요? 살짝 기울어진 정사각형을 하나 그려 볼게요 최대한 정사각형이 되도록 그리겠습니다 그림이 정확하지 않더라도 이해해 주세요 정사각형이므로 이 각은 직각이고 이 각도 직각이며 이 각과 이 각도 역시 직각입니다 그리고 모든 변의 길이가 같습니다 변의 길이를 c라고 할게요 정사각형 각 변의 길이는 c입니다 이 정사각형 안에 삼각형 네 개를 그려 볼까요? 이렇게 아래로 직선을 그려서 이렇게 생긴 삼각형을 그릴 거예요 그리고 여기서 옆으로 선을 곧게 그립니다 이 선과 이 선이 직교하므로 여기는 직각이겠죠 이번에는 정사각형의 이 꼭지점에서 위로 그립니다 이 선과 이 선이 직교하기 때문에 이 각도도 90도입니다 이제 이 꼭지점에서 왼쪽으로 곧게 그립니다 그러면 이 각은 직각이 되고 이 각도 직각이 됩니다 큰 정사각형 안에 직각삼각형 네 개를 그렸습니다 그리고 가운데에 직사각형 또는 정사각형이 있습니다 아직 이 도형이 정사각형인지는 확실하지 않습니다 다음으로 이 삼각형들이 합동인지 알아봅시다 이 삼각형들의 빗변의 길이는 c로 모두 같습니다 직각의 대변은 모두 c입니다 이때 대응하는 각이 모두 같으면 이 삼각형들은 모두 합동입니다 동위각들의 크기가 모두 같고 대응하는 변끼리 길이가 같다면 모든 삼각형은 합동입니다 이 각의 크기를 θ(세타)라고 한다면 여기 이 각은 보각이므로 90 - θ가 됩니다 이 두 각을 합치면 직각이 될 거예요 이 각은 90 - θ이고 이 각과 이 각의 합은 90도입니다 180도에서 직각을 빼면 90도가 남기 때문이죠 그러므로 이 각은 θ가 되어야 합니다 이 각이 θ면 이 각은 90 - θ가 되고 이 각이 90 - θ라면 이 각은 θ가 되며 이 각이 θ면 이 각은 90 - θ 이 각이 90 - θ면 이 각은 θ 그리고 이 각은 90 - θ가 되겠죠 이제 삼각형 네 개는 모두 θ, 90 - θ, 90도인 각을 하나씩 가지고 있습니다 대응하는 각이 모두 같기 때문에 최소한 서로 닮은꼴이며 빗변도 모두 길이가 같으므로 삼각형 네 개는 모두 합동입니다 이 가정을 바탕으로 삼각형의 변에서 빗변을 제외한 긴 변의 길이가 모두 b라고 해 봅시다 삼각형의 긴 변을 여기 그려 볼게요 이 길이를 b라고 합시다 삼각형 네 개에 있는 짧은 변의 길이를 구해 볼까요? 이 변과 이 변 그리고 이 변과 이 변까지 길이를 모두 a라고 해 봅시다 여기 이 정도 높이가 a입니다 이제 재미있는 것을 해 봅시다 커다란 정사각형의 넓이를 c로 표현해 볼까요? 정사각형 한 변의 길이가 c이므로 c × c = c²이 되겠죠 그러므로 이 넓이는 c²입니다 이제 삼각형 중 두 개를 다시 배치해서 금방 알아낸 넓이를 a와 b로 나타내 봅시다 이 과정은 피타고라스 정리로 이어질 거예요 이 그림을 이용해 풀어 봅시다 이 그림을 복사해서 붙여넣기 해 볼게요 이게 원래 도형이죠 이제 불필요한 내용을 지워줄 거예요 이제 도형을 옮겨 봅시다 왼쪽 위에 있는 삼각형을 오른쪽 아래에 있는 삼각형 밑으로 옮길 거예요 이 삼각형을 잘라내서 이동해 볼게요 도형이 망가지지 않도록 잘라내서 오른쪽 삼각형 밑에 붙이겠습니다 그러면 이렇게 되겠죠 삼각형을 잘라내면서 지워진 선을 그려 볼게요 여기에 선이 있었고 이 위에도 선이 있었죠 이 선은 위아래로 뻗었고 이 선은 양옆으로 뻗었네요 왼쪽에 있던 삼각형을 오른쪽 아래로 옮겼습니다 이제 위쪽에 있는 삼각형을 왼쪽 아래에 있는 삼각형 밑으로 옮길 거예요 금방 했던 것과 같은 과정입니다 먼저 위에 있는 삼각형을 잘라내서 밑에 있는 삼각형에 붙여 줄게요 잘라내는 과정에서 지워진 선을 다시 그려 줍니다 삼각형을 밑으로 이동시켰습니다 위에 있는 이 삼각형을 색칠해 볼게요 이 삼각형은 이제 이 밑에 있죠 왼쪽에 있던 이 삼각형은 이제 오른쪽에 있습니다 가운데에 있던 정사각형은 여기 있습니다 어떻게 다시 배치했는지 이해되셨으면 좋겠네요 이제 재배치한 도형의 넓이를 구해 봅시다 처음 도형에서 도형의 위치만 바꿨으므로 넓이는 같을 거예요 이 넓이를 어떻게 a와 b로 표현할 수 있을까요? 여기서 중요한 것은 이 아랫변의 길이를 알아내는 것이에요 이 아랫변의 길이는 무엇일까요? 이 변의 길이는 b이고 이 변의 길이는 a입니다 따라서 아랫변 전체의 길이는 a + b입니다 이 사실도 흥미롭지만 또 하나의 흥미로운 사실이 있습니다 이쪽에 있는 이 변은 저 변과 길이가 같아요 이 변의 길이도 a입니다 그러므로 이렇게 가로와 세로가 a인 정사각형을 그릴 수 있어요 이 정사각형의 넓이는 a × a = a²입니다 잘 보이는 색으로 표시해 볼게요 이 정사각형의 넓이는 a²입니다 그렇다면 남은 부분의 넓이는 무엇일까요? 이 길이가 a면 저 길이도 a예요 이 아랫변 전체가 a + b이므로 a를 뺀 나머지 부분의 길이는 b가 됩니다 전체 길이가 a + b이고 이 길이가 a라면 남은 부분의 길이는 b가 되겠죠 그럼 지금 색칠하고 있는 남은 도형은 가로와 세로가 b인 정사각형입니다 그러므로 이 도형의 넓이는 b²입니다 따라서 전체 도형의 넓이는 a² + b²이고 이 넓이는 c로 나타냈던 이 넓이와 일치합니다 위치만 바뀐 같은 도형이기 때문이죠 따라서 전체 도형의 넓이는 c²입니다 증명이 끝났습니다 바스카라는 피타고라스의 정리를 아주 멋지게 증명했네요