강체변환이란?

이번 강의에서는 변환에 대해 배워 봅시다 변환이라는 단어는 일상 생활에서도 많이 쓰이는데요 어떤 것에서 다른 것으로 변하는 것을 뜻합니다 그렇다면 수학에서 변환은 무슨 뜻일까요? 수학적 개념을 이용해 어떤 것을 다른 것으로 바꾼다는 뜻입니다 변환은 어떤 점의 좌표를 다른 좌표의 점으로 바꾸는 것입니다 예를 들어 이 그래프는 좌표평면 위에 사각형을 놓은 것입니다 사각형의 각 꼭짓점은 좌표를 나타내요 사각형의 꼭짓점뿐만 아니라 각 변을 따라서도 무수히 많은 점들이 존재합니다 x = 0, y = -4에 있는 점도 사각형 위에 있는 점입니다 여기에 변환을 적용할 수 있습니다 먼저 평행이동에 대해서 배워보도록 하겠습니다 평행이동은 모든 점들을 같은 방향으로 같은 양만큼 이동시키는 것을 의미합니다 이 사각형을 평행이동시켜 봅시다 사각형의 꼭짓점 중 하나를 잡고 끌면 사각형이 오른쪽으로 2만큼 이동했죠? 모든 점이 오른쪽으로 2만큼 이동했습니다 점 T와 점 I 그리고 모든 점이 같은 방향으로 같은 양만큼 이동했습니다 이것이 바로 평행이동입니다 사각형을 한 번 더 평행이동시켜보면 모든 점이 오른쪽으로 1만큼 이동하고 위로도 1만큼 이동했습니다 같은 방향으로 같은 양만큼 이동하는 것이 평행이동입니다 변환에 평행이동만 있는 것은 아닙니다 변환의 종류는 굉장히 다양해요 예를 들어, 회전을 할 수도 있습니다 좌표평면 위에 사각형 BCDE가 놓여 있죠 이 사각형을 한 점을 기준으로 회전시킬 수 있어요 점 D를 기준으로 회전시켜 봅시다 여기서부터 90도만큼 회전시켜 봅시다 한번 해 보겠습니다 이 정도면 90도와 가까워 보이네요 기존 사각형 위에 있던 모든 점들이 기준점에 대해 90도만큼 회전되었습니다 점 E가 이제는 이 위의 점으로 옮겨졌고 점 B는 여기로 옮겨졌죠 사각형의 꼭짓점으로 생각하는게 더 쉬워요 점 C는 이쪽으로 옮겨졌습니다 회전의 기준점인 점 D는 움직이지 않았습니다 이렇게 도형을 변환시켰을 때 만들어진 도형을 변환된 상이라고 합니다 처음에 있던 사각형 BCDE를 점 D를 기준으로 반시계 방향으로 90도 회전시켰을 때 생겨난 새로운 점의 집합을 변환된 상이라고 하는 거예요 반드시 도형 위의 점을 기준점으로 둘 필요는 없어요 원점을 기준으로 회전시킬 수도 있죠 이렇게 되면 다른 형태의 회전된 모양이 나옵니다 어떤 점이든 기준점이 될 수 있어요 이번에는 다른 변환의 종류를 살펴봅시다 바로 대칭이동입니다 대칭이라 하면 주로 거울이나 물에 물체가 반사되는 것을 떠올리실 거예요 지금 배우는 것이 바로 이 개념입니다 도형을 직선에 대해 대칭시켜 봅시다 여기 주어진 오각형을 대칭시켜 볼까요? 먼저 직선을 그려 볼게요 도형 전체를 대칭이동해 볼 거예요 어떤 선을 기준으로 대칭이동한다는 것은 무슨 의미일까요? 거울을 한번 떠올려 보세요 이 선이 대칭축이라고 생각해 봅시다 기존 도형과 선 반대쪽에 비친 도형은 모양이 같아야 합니다 한번 대칭이동을 해 볼까요? 이렇게 도형을 대칭이동 시켰어요 점 T는 대칭축에서 이만큼 떨어져있으며 이에 대응하는 점은 대칭축의 반대쪽으로 같은 거리만큼 떨어져 있죠 점 Y는 대칭축과 이만큼 떨어져 있으며 점 Y의 대응점 역시 대칭축의 반대쪽으로 같은 거리만큼 떨어져 있습니다 지금까지 알아본 평행이동과 대칭이동, 회전이동은 모두 강체변환이라고 합니다 일상에서 강체란 유동적이지 않아 늘리거나 확대하거나 축소할 수 없는 것을 뜻합니다 즉 외형적으로는 변하지 않는 변환이죠 좀 더 수학적으로 접근해 보자면 길이와 각도가 모두 보존되는 변환이라는 뜻입니다 위에서 변환시킨 도형을 보면 알 수 있듯이 점 R과 점 T 사이의 거리는 각 점의 대응점 사이의 거리와 같습니다 각 RTY의 크기는 대응각의 크기와 같습니다 평행이동을 할 때도 같은 법칙이 적용됩니다 도형을 늘리거나 줄이지 않았어요 그대로 모양을 유지하고 있죠 강체변환이 아닌 변환은 무엇이 있을까요? 물체를 축소하거나 확대하는 변환입니다 이 사각형을 확대시키면 각은 변하지 않겠지만 변의 길이는 변하므로 강체변환이 아닙니다 또 도형에서 나머지 점들은 그대로 두고 이 한 점만 끌어당겨서 도형의 모양을 늘리거나 일그러뜨려도 강체변환이 아니죠 이것은 굉장히 흥미로운 개념입니다 그림을 그릴 때 쓰는 도구나 컴퓨터 게임 그래픽에서 변환이 많이 이용됩니다 2차원에서 이용될 수도 있고 3차원에서 이용될 수도 있죠 선형 대수같은 더 복잡한 수학 개념에서는 모든 것이 변환으로 이루어져 있어요 사실 컴퓨터에 있는 도형 처리 장치는 수학적 변환을 수행할 수 있는 하드웨어의 일종입니다 그래서 우리가 3차원 가상 현실을 체험할 수 있는 것이죠