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주요 내용
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이번 강의에서는 기하학의 용어와 기하학을 다룰 때 사용하는 기호에 대해 알아봅시다 먼저 기하학이란 무슨 뜻일까요? 기하학을 뜻하는 단어 Geometry를 보면 첫 부분에 어근 Geo가 있죠 이 어근은 지리학이나 지질학을 지칭하는 단어에서도 찾을 수 있습니다 이것은 지구를 뜻합니다 그리고 여기 metry가 보이죠? metry는 삼각법이나 측정법, 미터법에서 볼 수 있는데 이것은 측량 또는 측량하다를 의미합니다 그러므로 기하학이란 단어는 지구 측량에서부터 온 것입니다 기하학은 범위가 넓은 학문이므로 기하학이란 이름은 잘 지은 것 같아요 기하학은 우리가 보는 도형, 공간, 사물이 어떤 관계에 있는지 배우고 이해하는 학문입니다 그렇기 때문에 기하학을 배울 때 선이나 삼각형 또는 원과 각도에 대해 배우는 것입니다 앞으로 이에 대해 좀 더 자세하게 정의해 봅시다 기하학에는 규칙과 3차원 도형도 있습니다 기하학에서는 우리가 보는 모든 것을 다루며 우리가 보고 이해하는 모든 수학적인 것은 기하학의 범주에 들어갈 수 있어요 그럼 이제부터 기하학의 기초에 대해 배워 볼까요? 처음부터 시작해 봅시다 여기 점이 하나 있습니다 화면에 보이는 이 점은 말 그대로 점이라고 부릅니다 이것은 점의 정의입니다 수학에서는 정의를 만들어 낼 수 있어요 이것을 아르마딜로라고 불렀을 수도 있지만 점이라고 부르기로 약속했습니다 일상 생활에서도 점이라고 부르기 때문에 적절한 이름 같네요 점에는 흥미로운 사실이 있습니다 점은 하나의 위치이기 때문에 점 위에서는 이동할 수 없습니다 이 점 위에 있다가 어느 방향으로 움직였다면 더 이상 그 점 위에 있는 것이 아닙니다 다른 점 사이의 차이점을 알아봅시다 예를 들어 여기에 점이 하나 있고 여기에도 하나 있고 여기에 하나 더 있고 저기에도 하나 더 있어요 이 점을 하나하나 부르려고 합니다 점을 항상 이렇게 색깔별로 나타낼 수는 없어요 그럴 수 있다면 점을 초록색 점이라든지 파란색 점, 분홍색 점이라고 부를 수 있었겠죠 기하학에서는 점을 부를 때 문자로 된 이름을 붙여서 부릅니다 예를 들어 이 점은 점 A이고 이 점은 점 B 이 점은 점 C 이 점은 점 D가 될 수 있겠죠 점 C에 동그라미를 그려야 한다면 어떤 점에 그려야 하는지 알겠죠 이 점에 동그라미를 그려야 합니다 여기까지 아주 흥미롭습니다 점은 그 위에서 움직일 수 없으며 위치만 나타낼 수 있습니다 한 점에서 다른 점으로 이동하고 싶을 땐 어떻게 될까요? 이 점부터 시작해서 다른 점까지 모든 점을 잇는다면 어떻게 될까요? 이것을 뭐라고 부를 수 있을까요? A와 B 사이에 있는 점들을 모두 연결했을 때 똑바로 그어진 선을 따라 이어진 점들은 선분이라고 부릅니다 일상 생활에서는 선이라고 부르겠죠 하지만 수학에서는 선의 의미가 조금 다르기 때문에 선분이라고 부르겠습니다 D와 C를 잇는다면 이것도 선분이 되겠죠 선분 역시 항상 색깔별로 나타낼 수는 없어요 이것은 주황색 선분이고 이것은 노란색 선분이죠 선분에 이름을 붙여 봅시다 선분의 이름은 선분의 양 끝점을 이용해서 붙일 수 있어요 여기 용어가 하나 더 나왔습니다 점은 말 그대로 점 A 또는 점 B이지만 동시에 점 A와 점 B는 이 선분의 양 끝점이기도 합니다 선분이 A에서 시작해서 B에서 끝나기 때문이죠 A와 B를 써 보겠습니다 A와 B는 끝점입니다 정의가 하나 더 나왔습니다 이것을 다른 이름으로 부를 수 있었지만 끝점이라고 부르기로 정했습니다 이제 끝점이 있는 선분의 이름을 붙여 봅시다 이 선분의 이름은 어떻게 붙일 수 있을까요? 먼저 이 선분의 양 끝점을 써준 뒤 이것이 선분이라는 것을 나타내주기 위해 그 위에 선을 하나 긋습니다 밑에 있는 선분의 이름은 선분 DC 또는 선분 CD입니다 둘 다 같은 선분을 나타냅니다 BA 위에 선을 그으면 역시 AB와 같은 선분을 말하는 거겠죠 A와 B 사이만 왔다갔다 하는 것이 지루하다면 여기 흥미로운 사실이 있습니다 예를 들어 점 A 위에 있을 때는 어떤 방향으로 이동할 수 없었습니다 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽 어디로도 이동할 수 없고 그 점에 계속 머물러 있어야 했죠 그러므로 점은 0차원입니다 하지만 이 선분에서는 선분을 따라 왼쪽이나 오른쪽으로 움직일 수 있어요 A쪽으로 갈 수도 있고 B쪽으로 갈 수도 있죠 1차원씩 이동할 수 있기 때문에 선분은 1차원입니다 이것은 추상적인 개념입니다 완벽한 선분은 실제로 존재하지 않아요 선분 위에서 양 옆으로는 움직일 수 있어도 위아래로는 움직일 수 없습니다 현실에서 선분이라고 생각하는 막대나 실 같은 경우에는 어느 정도의 폭이 있습니다 하지만 기하학에서 정의하는 선분에는 폭이 없습니다 오직 길이만 있기 때문에 그 선을 따라 움직일 수 있죠 그렇기 때문에 선분은 1차원입니다 점은 아예 움직일 수 없고 선분은 같은 방향으로만 움직일 수 있습니다 선분의 길이를 나타낼 때에는 어떻게 나타낼까요? 이때는 AB 위에 선을 긋지 않습니다 AB 위에 선을 그어 나타내면 그 선분 자체를 나타내는거죠 다른 색으로 써 볼게요 AB가 5라고 해 봅시다 이때 단위는 ㎝ 또는 m가 될 수 있겠죠 이것은 A와 B 사이의 거리가 5이며 선분 AB의 길이가 5라는 것을 뜻합니다 이제 이 선을 한쪽 방향으로 계속 연장해 봅시다 A에서 시작해 볼까요? 다른 색으로 할게요 A에서 D 방향으로 계속 뻗어나간다고 합시다 A에서 A의 방향으로 갈 수는 없지만 D의 방향으로는 더 갈 수 있어요 지금 설명한 것은 선분이 있을 때 끝점을 지나서 계속 뻗어나가는 선 즉, 반직선(ray)입니다 이 반직선의 시작점은 꼭짓점(vertex)이라고 합니다 자주 볼 수 있는 용어는 아니지만 알아두면 좋습니다 이것이 반직선의 꼭짓점입니다 선분의 꼭짓점이 아니므로 여기에 이렇게 쓰면 안되겠네요 반직선 역시 1차원 형태입니다 하지만 선분과 달리 한 끝점을 지나 한 방향으로 계속 갈 수 있죠 반직선의 이름은 반직선이라는 것을 나타내기 위해 AD 위에 화살표를 붙여서 나타냅니다 반직선의 경우에는 문자의 순서에 주의해야 합니다 반직선 DA는 D에서 시작해서 A를 지나가는 선이기 때문에 다른 반직선을 의미합니다 이것은 반직선 DA가 아니라 반직선 AD입니다 그렇다면 양쪽 방향으로 뻗어나갈 때는 어떻게 될까요? 점을 좀 더 그려 볼게요 점 E와 점 F가 있습니다 점 E와 점 F를 모두 지나면서 양쪽 방향으로 계속 뻗어나가는 선을 기하학적 용어로 직선(line)이라고 합니다 직선은 끝이 없습니다 어느 방향으로든 뻗어나갈 수 있어요 선분은 끝점이 있지만 직선은 없습니다 선분을 뜻하는 영어 단어는 line segment인데 이를 그냥 segment라고 하기도 합니다 직선 EF는 EF 위에 양방향으로 화살표를 그려서 나타냅니다 앞으로 기하학을 공부하면서 이 개념들을 자주 보게 될 거예요 도형의 면과 점 사이의 거리 등을 주로 다루기 때문이죠 선분은 길이가 유한하고 실제로 길이를 나타낼 수 있으며 한 방향이나 양 방향 어떤 방향으로도 뻗어나가지 않습니다 앞으로 기하학에서 새로 배우게 될 용어에 대해 알아보기 전에 선분에 대해 다시 얘기해 볼까요? 점 X와 점 Y가 있을 때 이것을 이어주면 선분 XY가 되겠죠 선분 XY는 이렇게 나타낼 수 있어요 선분 위에 다른 점 Z가 하나 더 있다고 합시다 여기서 새로운 용어가 나올 거예요 이 직선이 양 방향으로 계속 뻗어나간다고 했을 때 이때 X, Y, Z는 동일선상에 있다고 할 수 있습니다 세 점은 모두 같은 직선 위에 있으며 선분 XY 위에 있기도 합니다 XZ와 ZY가 같고 모두 동일선상에 있다면 이것은 무엇을 의미할까요? 이것은 X와 Z 사이의 거리가 Z와 Y 사이의 거리와 같다는 것을 의미합니다 이런 경우에는 이렇게 표시할 수도 있어요 이 거리가 저 거리와 같습니다 이것은 Z가 X와 Y의 정중앙에 있다는 것을 나타냅니다 이 경우에 Z를 중점이라고 부릅니다 선분 XY의 중점이죠 왜냐하면 Z가 정확히 가운데에 있기 때문입니다 지금까지 0차원인 점과 1차원인 직선, 선분 반직선에 대해 이야기해 보았습니다 이제 2차원에 대해 알아봅시다 2차원이라는 것은 서로 다른 두 방향으로 움직일 수 있다는 것을 의미합니다 지금 이 페이지나 동영상에 나오는 것들이 2차원 사물입니다 왼쪽, 오른쪽이나 위, 아래로 움직일 수 있다면 1차원입니다 그러므로 지금 보고 있는 화면과 같은 것은 2차원이죠 두 방향으로 움직일 수 있어요 2차원인 것은 평면이라고 합니다 종이 한 장을 모든 방향으로 연장시킨 것을 기하학에서 평면이라고 합니다 기하학 수업에서 다루지 않겠지만 종이 한 장은 평면분할이라고 할 수 있습니다 전체 평면 중 한 부분이기 때문이죠 3차원에 대해 알아봅시다 3차원은 3차원적 공간을 의미합니다 3차원적 공간에서는 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래 또는 안쪽과 바깥쪽으로도 움직일 수 있습니다 3차원을 그려보면 여기서 안쪽으로 들어갈 수도 있고 이렇게 바깥쪽으로 나올 수도 있어요 수학을 더 깊이 공부할수록 3차원보다 더 높은 차원도 있다는 것을 알게 될 거예요