원주와 원의 넓이의 관계

여기 원이 하나 있습니다 이 원의 원주를 6π ㎝라고 합시다 원주가 6π ㎝일 때 이 원의 넓이는 얼마일까요? 동영상을 멈추고 직접 구해 보세요 먼저 이 원의 넓이를 구해본 뒤 어떤 원주가 주어지더라도 넓이를 구할 수 있는 공식에 대해 생각해 봅시다 같이 풀어 볼까요? 여기서 알 수 있는 것은 원주에서 반지름을 구할 수 있으며 반지름을 이용해 넓이를 구할 수 있다는 것입니다 원주는 6π였죠? 그러므로 6π = 2π · 반지름(r)입니다 반지름은 무엇일까요? 반지름은 이 길이가 되겠죠? 이 식에서 양변을 2π로 나눌 수 있습니다 양변을 2π로 나눠서 r에 관해 풀면 어떻게 될까요? 우변에는 r만 남고 좌변은 π가 약분되어 1이 남고 6/2 = 3이 되죠 따라서 반지름은 3 ㎝가 됩니다 이제 넓이(A) = πr²을 이용해 넓이를 구해 봅시다 여기에 r = 3을 대입하면 π(3)²이 되겠죠 괄호를 빼고 쓸게요 π · 3²을 계산하면 9π가 됩니다 따라서 주어진 원에서 원주가 6π ㎝일 때 넓이가 9π ㎠이라는 것을 구할 수 있었습니다 단위가 ㎠인 이유는 반지름을 제곱했기 때문이에요 반지름은 3 ㎝였죠? 이를 제곱했으므로 단위가 ㎠가 되는 것입니다 여기서 일반적인 공식을 도출해 봅시다 원주(C) = 2πr입니다 그리고 넓이는 A = πr²이죠 여기서 원주와 넓이의 상관관계를 이용하여 식을 도출해낼 수 있을까요? 힌트를 하나 드릴게요 C = 2πr을 r에 관해 푼 뒤 넓이 공식에 대입할 수 있어요 또는 그 반대로 할 수도 있죠 동영상을 멈추고 한번 해 보세요 같이 풀어 볼까요? 식을 r에 관해 풀어 봅시다 다른 색으로 써 볼게요 양변을 2π로 나눠 봅시다 위의 계산 과정과 비슷해요 우변은 r만 남고 좌변은 C/2π가 남게 됩니다 따라서 반지름 r은 C/2π와 같습니다 이제 넓이 공식을 살펴봅시다 넓이는 π · r²이었죠? 반지름은 C/2π였습니다 이를 식에 대입해주면 A = π(C/2π)²이 되죠 지금 넓이(A)와 원주(C)의 상관관계를 알아보고 있는 거예요 이를 간단히 하면 어떻게 될까요? A = π · C²/4π²이 됩니다 식을 보면 분자와 분모에 π가 있으므로 약분할 수 있습니다 분모에는 π가 두 번 곱해져 있습니다 따라서 π를 π²으로 나누면 1/π이 됩니다 따라서 넓이는 C²/4π이 됩니다 이를 써 볼게요 이 공식을 꼭 배울 필요는 없지만 여기에서 이 공식을 도출해낼 수 있었어요 A = C²/4π 이제 반대로 넓이가 주어졌을 때 원주를 구해 봅시다 값을 이 식에 대입하거나 C에 관해 풀어주면 되겠죠? 이 공식의 양변에 4π를 곱해 봅시다 양변에 4π를 곱하면 어떻게 될까요? 4π · A = C²이 되며 원주를 구하기 위해 양변에 근호를 씌워 줍니다 √(4π · A) = C 2를 근호 바깥으로 빼서 식을 간단하게 만들 수도 있지만 이 형태가 원주와 넓이의 관계를 더 명확하게 나타냅니다