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가분수와 대분수의 크기 비교하기

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대분수와 가분수로 된 수의 쌍이 있습니다 둘 중 어느 수가 더 큰지 생각해 봅시다 먼저 1과 7/8 과 39/10을 살펴봅시다 옆에서 계산해 볼까요? 10은 39에 3번 들어가므로 3 × 10입니다 10과 곱했을 때 39를 넘지 않는 값 중 가장 큰 수를 찾으려고 합니다 4를 곱하면 39보다 큰 수인 40이 되므로 4는 안되겠네요 3 × 10 = 30이고 나머지 9가 나옵니다 그러므로 39/10를 다시 쓰면 30/10 + 9/10이며 30/10은 3이므로 30/10 + 9/10은 3과 9/10와 같습니다 암산으로도 할 수 있어요 10은 39에 3번 들어가며 9가 남습니다 9/10가 남는 것이죠 이제 수를 비교해 볼까요? 1과 7/8과 3과 9/10의 자연수 부분을 비교해 봅시다 3이 1보다 확실히 더 크므로 3과 9/10이 더 큰 수입니다 그러므로 1과 7/8 < 39/10입니다 부등호의 방향을 잘 살펴봐야 합니다 부등호가 열린 쪽이 더 큰 수를 나타내며 닫힌 쪽은 더 작은 수를 나타냅니다 이제 4와 7/8과 49/9를 비교해 봅시다 가분수를 대분수로 바꿔 봅시다 9는 49에 5번 들어가죠 5 × 9 = 45이므로 나머지는 4입니다 따라서 이 수는 5와 4/9가 됩니다 이제 자연수 부분을 비교해 봅시다 5가 4보다 확실히 크므로 4와 7/8 < 49/9입니다 열린 쪽이 더 큰 수를 나타냅니다 이제 2와 1/2과 11/10을 비교해 봅시다 10은 11에 1번 들어가고 나머지 1이 나옵니다 그러므로 이 수는 1과 1/10이며 2와 1/2보다 작습니다 자연수 부분을 보면 2가 1보다 확실히 더 크죠 부등호의 열린 쪽이 더 큰 수를 나타내야 하므로 부등호는 2와 1/2 > 11/10이 됩니다 닫힌 쪽이 더 작은 수를 나타냅니다 이제 5와 4/9와 40/7을 비교해 봅시다 7은 40에 5번 들어가고 5가 남습니다 7 × 5 = 35이고 40 - 35 = 5이기 때문이죠 따라서 40/7을 대분수로 나타내면 5와 5/7입니다 대분수를 자연수와 진분수로 쪼갰을 뿐이에요 40/7은 (35 + 5)/7과 같으며 35는 40 안에 들어가는 7의 최대 배수입니다 이는 35/7 + 5/7로 쓸 수 있으며 35/7은 5이고 5/7는 그대로 5/7입니다 네 번째 수의 쌍은 대분수의 자연수 부분이 같죠 둘 다 자연수 부분이 5이므로 대분수의 분수 부분을 봐야 합니다 4/9와 5/7를 비교해 봅시다 쉽게 비교하려면 두 분수의 분모를 통분해주면 됩니다 7과 9의 최소공배수는 무엇일까요? 공통인수가 없으므로 최소공배수는 두 분모의 곱입니다 9 × 7 = 63이므로 4/9의 분모는 63이 되어야겠죠 분모에 7을 곱했으면 분자에도 7을 곱해줘야해요 그러므로 분자는 4 × 7 = 28이 됩니다 이제 5/7의 분모를 63으로 만들기 위해 분모에 9를 곱하고 분자에도 9를 곱해 줍니다 5 × 9 = 45 이제 45/63가 28/63보다 확실히 크다는 것을 알 수 있습니다 부등호는 45/63 > 28/63이 됩니다 두 분수의 자연수 부분이 같으며 5/7는 45/63와 같고 4/9는 28/63과 같으므로 5와 4/9 < 40/7이라고 쓸 수 있습니다 다른 방법으로 4/9와 5/7를 비교할 수도 있어요 4/9와 4/7를 어떻게 비교할 수 있을까요? 두 분수의 분자는 같지만 분모는 4/9가 더 크죠 분자가 같을 때는 분모가 더 큰 분수가 더 작은 수입니다 그러므로 4/9 < 4/7가 되는 것이죠 그리고 4/7는 확실히 5/7보다 작은 수입니다 따라서 4/9는 5/7보다 작은 수이므로 아까와 같은 결과를 얻게 됩니다