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음수와 음수를 곱하면 양수가 되는 이유

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여러분이 수학을 처음으로 만든 고대 수학자라고 생각해 봅시다 음수가 무엇인지 알고 표현할 수 있으며 음수의 덧셈과 뺄셈도 할 수 있습니다 하지만 새로운 난관에 부딪혔습니다 음수를 곱하게 된다면 어떻게 될까요? 양수와 음수의 곱이나 음수끼리의 곱은 어떻게 될까요? 예를 들어 봅시다 양수와 음수가 있다고 할게요 5 × (-3)을 계산하면 어떻게 될까요? 아직 잘 모르겠죠? 두 음수끼리 곱하면 어떤 값이 나올지 생각해 봅시다 (-2) × (-6)을 곱하면 어떻게 될까요? 이것도 잘 모르겠네요 수학자로서 알 수 있는 것은 여기서 정의한 것들이 기존의 수학 성질과 맞아야 한다는 것입니다 특히 곱셈 법칙에서 성립해야겠죠 그래야 이를 올바르게 구할 수 있을 거예요 나중에는 왜 이렇게 되는지 알아보기 위해 다른 방법도 이용할 수 있어요 이 식이 성립하도록 하기 위해 조금 더 생각해 봅시다 5 × {3 + (-3)}은 무엇일까요? 음수끼리 더하는 법과 양수와 음수를 더하는 법을 배웠었죠? -3은 3의 반대이므로 3과 -3을 더하면 0이 되겠죠 따라서 이 식은 5 × 0이 됩니다 양수와 음수를 더하면 어떻게 되는지 배웠었죠 그리고 0에 어떤 수를 곱하든 0이 되므로 이 식의 답은 0이 됩니다 이 양수와 음수의 곱셈을 분배법칙으로 계산할 수도 있어요 수학의 성질에 따르면 5를 각 수에 분배해서 계산했을 때 앞에서 구한 답과 같은 값이 나와야 합니다 5를 분배해 봅시다 5를 3에 분배하면 5 × 3이 되겠죠 곱셈을 × 기호로 표시해 볼게요 그리고 5를 -3에 분배하면 5 × (-3)이 됩니다 따라서 식은 5 × 3 + 5 × (-3)이 됩니다 이를 계산했을 때 0이 되어야 합니다 5 × 3 + 5 × (-3) = 0이 되어야겠죠 5 × 3은 둘 다 양수이므로 계산하면 15가 될 거예요 여기는 15가 되므로 15 + {5 × (-3)} = 0이 되어야 합니다 이는 기존 수학의 성질에 따른 거예요 15와 더했을 때 0이 되는 수는 무엇일까요? 15의 반대인 -15가 되겠죠 지금까지 배웠던 수학의 성질에 부합하려면 5 × (-3)은 -15가 되어야만 합니다 그러므로 5 × (-3) = -15입니다 이를 -3을 5번 더한다고 볼 수도 있겠죠 이제 좀 더 나아가서 음수끼리의 곱셈을 살펴봅시다 위의 과정과 똑같이 계산해 볼 거예요 다른 방식으로 계산해도 같은 값이 나와야 합니다 한번 계산해 봅시다 (-2) × {6 + (-6)}은 무엇일까요? 6 + (-6) = 0이겠죠 그리고 (-2) × 0 = 0입니다 아까처럼 분배법칙을 적용해 볼까요? {(-2) × 6} + {(-2) × (-6)}을 계산하면 0이 되어야 합니다 위에서 계산했던 것과 같은 방식이므로 이 부분은 -12가 되어야 할 것입니다 또는 -2 × 6을 수직선의 왼쪽으로 6만큼 두 번 이동한 것으로 생각해서 -12라고 할 수 있겠죠 -2를 6번 더해서 -12가 되었다고 할 수도 있습니다 위에서 볼 수 있듯이 -2 × 6은 양수와 음수의 곱이므로 음수가 됩니다 그러므로 -2 × 6 = -12가 되고 (-12) + {(-2) × (-6)}은 0이 되어야 합니다 알고 있는 수학의 성질을 생각해보면 -12에 어떤 수를 더해야 0이 될까요? -12 + 12 = 0이므로 12를 더해줘야 겠죠 이전에 배웠었던 수학의 성질을 이용하면 (-2) × (-6) = 12가 되어야 합니다 이해가 잘 안 된다면 다른 동영상을 참고하세요