단위원

여기에 제가 그린 것은 단위원입니다 단위원은 주어진 원의 반지름이 1이라는 뜻입니다 즉, 원의 중심인 원점과 원 위의 임의의 점이 떨어진 거리가 항상 1이라는 것입니다 그럼 주어진 원이 x축과 교차하는 이 점의 좌표는 무엇일까요? x값은 1, y값은 0일 것입니다 그럼 이 점의 좌표는 무엇일까요? 원점 위로 1만큼 갔지만 원점의 좌우로는 움직이지 않았으므로 x값은 0이 될 것이며 y값은 1일 것입니다 이 점의 좌표는요? 이번에는 원점에서 왼쪽으로 1만큼 갔으므로 x좌표는 -1이 될 것입니다 그리고 위아래로는 움직이지 않았으므로 y좌표는 0입니다 아래쪽의 이 점은 어떨까요? 원점에서 1만큼 내려갔지만 x방향으로는 움직이지 않았으므로 x값은 0, y값은 -1입니다 이번에는 각을 하나 그리겠습니다 각을 그리기 전에 우선 양의 각에 대해 정의합시다 우선 각의 한쪽 끝은 양의 x축 방향으로 설정하도록 하겠습니다 즉, 이 분홍색 선이 각의 출발선이라고 생각하면 됩니다 그리고 양의 각도는 이 선을 기준으로 시계 반대 방향으로 회전한 각으로 정의하겠습니다 즉 양의 각을 측정하기 위해선 반시계 방향으로 각을 재면 됩니다 이 정의는 제가 임의로 정한 것이 아닌 널리 통용된 방법입니다 반대로 음의 각은 시계 방향으로 잰 각입니다 이제 양의 각을 그려 봅시다 다음은 제가 임의로 잡은 각입니다 여기가 출발선입니다 이 선에서 시작해 반시계 방향으로 돌면서 도착선까지의 각을 재면 됩니다 여기가 도착선입니다 이 각의 크기를 양수 θ라 합시다 이제 각과 단위원의 교점에 대해서 생각해 보도록 하겠습니다 이 교점의 좌표를 (a,b)라 하겠습니다 교점의 x좌표가 a가 되고 y좌표가 b가 되는 것입니다 오늘 강의에서는 이 단위원을 이용하여 기존의 삼각함수의 정의를 확장해 보려 합니다 정의를 확장해 보려 합니다 이를 위해서 이 θ가 직각삼각형의 일부가 되도록 만들어 보겠습니다 그러기 위해 우선 이 점에서 수직선을 하나 긋겠습니다 우선 이 각이 90º라는 것을 표시하겠습니다 이제 θ는 직각삼각형의 일부입니다 이제 삼각형의 변을 이용해 알아낼 수 있는 정보를 파악해 봅시다 우선 방금 만든 삼각형의 빗변의 길이가 얼마인지에 대해 생각해 보도록 합시다 사실 빗변의 길이는 원의 반지름의 길이와 같습니다 단위원은 반지름이 1이므로 빗변 역시 길이가 1일 것입니다 이번에는 파란색 변의 길이에 대해 생각해 봅시다 이 변은 θ의 반대편에 있는 변입니다 이 변의 길이는 조금 전 언급한 교점의 y좌표의 값과 같습니다 그러므로 이 변의 길이는 b입니다 이 점의 y좌표값이 b이기 때문에 삼각형의 높이도 b인 것입니다 이 논리를 응용해 봅시다 삼각형의 밑변의 길이는 얼마일까요? 주어진 삼각형의 밑변의 길이를 구하기 위해서는 교점의 x좌표의 값을 확인하면 됩니다 이 점에서 수선을 내리면 x값이 a인 x축 위의 점이 됩니다 즉 원점과 수선의 발 사이의 거리가 a라는 의미입니다 이제 길이 표시가 끝났습니다 이제 주어진 각의 코사인 값을 a와 b, 그리고 상수만으로 나타내어 봅시다 우선 저번 강의에서 배웠던 삼각함수의 정의를 떠올려 봅시다 아직 우리가 아는 것은 그것 뿐이니 말입니다 이 정의를 통해 기존의 삼각함수의 정의를 확장시켜 보겠습니다 우선 코사인의 정의를 떠올려 봅시다 코사인은 각과 인접한 변의 길이를 빗변의 길이로 나눈 값을 의미했습니다 그 값은 얼마인가요? 주어진 각에 인접한 변의 길이는 a였습니다 이제 빗변의 길이로 나눠야 합니다 빗변의 길이는 얼마였나요? 1이었습니다 그러므로 θ의 코사인값은 a입니다 이를 다시 적어보겠습니다 cosθ의 값은 a입니다 이는 각이 단위원과 만나는 교점의 x좌표 값이었습니다 이제 θ의 사인값을 구해봅시다 이번에는 주황색으로 해보겠습니다 sinθ는 얼마인가요? 우선 사인의 정의에 대해 다시 떠올려 봅시다 사인은 각의 반대쪽 변 길이를 빗변 길이로 나눈 것이었습니다 각의 반대편 변 길이는 b였습니다 그리고 빗변의 길이는 1이었습니다 그러므로 sinθ는 b입니다 즉, 주어진 각과 단위원이 만나서 생기는 점의 좌표인 (a,b)는 사실 삼각함수로도 나타낼 수 있습니다 a는 cosθ와 같으며 a는 cosθ와 같으며 b는 sinθ입니다 단순히 삼각함수의 정의를 조금 응용했을 뿐인데 매우 흥미로운 결과를 얻었습니다 이제 삼각함수의 정의를 확장해 봅시다 기존의 정의에는 문제가 있기 때문입니다 주어진 각도가 0º보다 크고 90º보다 작으면 항상 직각삼각형의 일부로 생각할 수 있었으므로 문제가 없었습니다 하지만 주어진 각도가 0º 이하의 값을 가지거나 90º 이상의 각을 가지면 문제가 생깁니다 두 내각이 90º인 직각삼각형은 불가능하기 때문입니다 즉 더이상 기존의 정의를 쓸 수 없게 됩니다 즉 더이상 기존의 정의를 쓸 수 없게 됩니다 다시 한 번 정리해 보겠습니다 이것은 직각삼각형입니다 이 각은 좀 큰 편입니다 하지만 이 각이 더 커져도 직각삼각형을 그리는 데는 문제가 없습니다 각을 더 증가시킬 순 있지만 이 각이 절대 90º가 될 순 없습니다 이 각이 90º가 되면 더 이상 직각삼각형이 생기지 않습니다 즉 삼각함수를 정의할 수 없습니다 각이 90º보다 큰 경우도 마찬가지입니다 이번에는 단위원 그림을 통해 이 문제점을 해결해 봅시다 삼각함수의 기존 정의를 확장시켜 새로운 정의를 만들되 기존 정의에 위배되지 않게 하는 것입니다 지금까지 코사인은 직각삼각형에서 밑변의 길이를 빗변 길이로 나눈 것으로 정의했습니다 사인은 각 대변을 빗변으로 나눈 것이었습니다 탄젠트는 대변을 밑변으로 나눈 것이었습니다 하지만 임의의 각이 주어졌을 때 그 각을 방금 전 규칙에 맞게 단위원 위에 그린다면 어떨까요? 그 후에 주어진 각의 코사인 값은 각과 단위원의 교점의 x좌표값으로 정의하면 될 것입니다 이 새로운 정의를 적어두겠습니다 또한, sinθ값은 각과 단위원의 교점의 y좌표의 값으로 정하면 될 것입니다 그러므로 임의의 각에 대하여 각과 원의 교점은 cosθ와 sinθ를 결정하는 역할을 합니다 그럼 tanθ는 어떻게 정의해야 할까요? 탄젠트는 기존의 정의를 살펴봐도 단순히 sinθ를 cosθ로 나눔으로써 얻어짐을 알 수 있습니다 이 경우에는 교점의 y좌표값을 x좌표값으로 나누면 될 것입니다 다음 강의들은 단위원을 통해 삼각비를 정의하는 몇 가지 예를 보여드리겠습니다