y=sin(x)의 그래프

문제는 sin 함수의 치역과 정의역이 무엇인지 묻고 있습니다 그 질문에 대해 생각해보기 위해 sin 함수를 그려봅시다 왼쪽에 단위원이 있습니다 이건 필요 없으니 자르겠습니다 이건 필요 없으니 자르겠습니다 이렇게 왼쪽에 단위원이 있는데 주어진 θ에 해당하는 sinθ 값을 구하는데 사용할 것입니다 원 위의 이것은 x입니다 이것은 y입니다 또는 이것을 여기에 x고 여기가 y라고 해도 됩니다 또는 이것을 여기에 x고 여기가 y라고 해도 됩니다 주어진 θ에 대해 각의 끝과 단위원이 어디에서 교차하는지 볼 수 있습니다 그 부분의 y좌표는 sin θ가 될 것입니다 여기에는 무엇을 그리냐면 수직축에 y라고 쓰고 y = sin θ의 그래프를 그릴 것입니다 그리고 수평축에는 x라고 쓰지 않고 θ라고 쓸 것입니다 여기서 θ는 독립 변수입니다 그리고 θ는 라디안으로 나타냅니다 이제 여러 θ를 골라 sin θ의 값을 구하고 그래프를 그릴 것입니다 표를 준비해 봅시다 여기는 θ이고 여기에는 sin θ의 값을 찾습니다 여러 θ 값을 해 보죠 0부터 시작합시다 sin 0의 값은 무엇일까요? 각도가 0이면 원과 여기에서 교차합니다 y 좌표는 여전히 0이고 이 점은 (1,0)이 됩니다 y좌표가 0이기 때문에 sin 0의 값은 0입니다 sin 0 = 0입니다 θ가 π/2일 경우를 해봅시다 저는 알아내기 쉬운 값만 하고 있습니다 θ가 π/2입니다 그것은 90도와 같습니다 종선은 y축을 따라갑니다 단위원과 교차하는 곳은 여기입니다 그리고 이 점은 무엇인가요? 이 점은 (0,1)입니다 그러면 sin π/2의 값은 무엇인가요? sin π/2는 단순히 y 좌표인 1입니다 sin π/2 = 1입니다 sin π/2 = 1입니다 조금 더 하면 패턴을 발견할 수 있을 것입니다 원 주변에서 더 알아내는 것입니다 이번에는 θ가 π일 때를 생각해 봅시다 sin π의 값은 무엇일까요? 단위원과는 여기서 교차합니다 그 좌표는 (-1,0)입니다 sin은 y좌표이기 때문에 여기가 sin π입니다 sin π는 0입니다 이제 3π/2를 해봅시다 지금 원을 돌아 3/4을 왔습니다 단위원은 각의 종선과 여기서 교차합니다 단위원은 각의 종선과 여기서 교차합니다 그에 따른 sin 3π/2의 값은 무엇일까요? 이 점은 (0,-1)입니다 sin θ의 값은 y좌표와 같기 때문에 sin θ의 값은 y좌표와 같기 때문에 세타가 3π/2이면 sin θ의 값은 -1입니다 이제 완전히 돌아가서 θ가 2π일 때의 값을 구해봅시다 노란색을 사용하죠 θ가 2π가 되면 어떻게 되나요? 그러면 원 한 바퀴를 돌게 됩니다 그리고 처음 시작한 곳으로 돌아오게 됩니다 y좌표는 0이기 때문에 sin 2π의 값은 0입니다 계속 돌아가다 보면 각을 키움에 따라 같은 패턴이 반복되는 것을 볼 수 있습니다 이것을 그래프로 나타내 봅시다 θ가 0이면 sin θ의 값은 0입니다 θ가 π/2이면 sin θ의 값은 1입니다 같은 크기로 그릴게요 sin θ의 값은 1입니다 여기가 두 축 모두에서 1이라 하겠습니다 그러면 값이 대응하는 것을 볼 수 있습니다 θ π면 sin θ의 값은 0입니다 다시 돌아와 봅시다 θ가 3π/2이면 그 값은 여기가 될 것입니다 3π/2에서 sin θ는 -1입니다 -1은 여기입니다 같은 비율로 여기가 음수라고 하겠습니다 이것을 -1이라고 하고 sin θ는 -1입니다 θ가 2π이면 sin θ는 0입니다 이 점들을 연결하는데 사이의 다른 점들의 값을 예측해보면 이런 모양의 그래프를 얻을 수 있습니다 손으로 그리면 이렇게 됩니다 이러한 곡선을 사인 곡선이라고 하는 이유가 있습니다 이것이 사인함수의 그래프이기 때문입니다 하지만 이것은 전체 그래프가 아닙니다 계속할 수 있죠 π/2를 더 추가할 수 있습니다 π/2를 추가해서 2π가 되었으면 π/2를 또 추가합니다 이것을 5π/2라고 볼 수도 있겠죠 그러면 여기로 돌아와서 sin θ의 값이 1로 돌아오는 것을 볼 수 있습니다 이 점으로 돌아오게 될 것입니다 계속 해서 π/2를 또 더할 수도 있습니다 이 점으로 돌아오게 될 것입니다 그래서 sin θ 함수의 곡선은 어떠한 실수의 θ 값이던지 정의되어 있습니다 음수는 어떨까요? 사실, 여러분이 θ를 계속 키우면 원을 돌고 돌게 됩니다 그리고 이 패턴이 나타나게 됩니다 하지만 반대 방향으로 해본다면 어떨까요? 해봅시다 π/2를 빼면 어떻게 될까요? 해보면 -π/2에 대해서는 여기로 옵니다 단위원과는 여기에서 교차하게 됩니다 y좌표는 -1입니다 그래서 sin -π/2는 -1입니다 그리고 계속 이어진다는 것을 알 수 있습니다 그래서 sin θ는 음수던 양수던 어느 값이던지 정의되어 있습니다 그래서 sin θ는 음수던 양수던 어느 값이던지 정의되어 있습니다 양수, 음수, 0 모든 값에 대해 정의되어 있습니다 질문으로 돌아와봅시다 저는 함수를 계속 그릴 수도 있습니다 질문으로 돌아와봅시다 sin 함수의 정의역이 무엇일까요? 정의역은 함수가 정의되어 있는 모든 입력값입니다 함수가 정의되어 있고 함수가 유효한 값을 내놓는 모든 유효한 입력값입니다 그래서 sin 함수의 정의역이 무엇인가요? 이미 말했듯이 θ에는 모든 값을 넣을 수 있습니다 그래서 정의역이 모든 실수라고 말할 수 있습니다 그렇다면 치역은 어떨까요? 치역을 복습해보면 수학 수업에서 치역을 상이라고도 합니다 치역은 함수가 가질 수 있는 모든 값입니다 그렇다면 여기서 그 범위는 무엇인가요? 즉 y = sin θ가 가질 수 있는 모든 값들은 무엇인가요? 1과 -1사이라는 것을 알 수 있습니다 그리고 다시 1로 돌아오고 다시 -1이 됩니다 그 사이의 모든 값을 가집니다 그래서 sin θ의 값이 항상 1 이하라는 것을 알 수 있고 항상 -1 이상이라는 것을 알 수 있습니다 sin θ의 치역은 -1과 1사이의 모든 수라고 할 수 있습니다 그리고 -1과 1을 포함합니다 그것이 소괄호 대신에 각괄호를 넣는 이유입니다