사인곡선 함수식에서 진폭과 주기 구하기

y= -(1/2) cos3x 의 진폭과 주기를 구해봅시다 우선적으로 알아야 할 것은 진폭이 무슨 뜻인지입니다 주기함수에서의 진폭은 (최댓값-최솟값)의 절반입니다 (최댓값-최솟값)의 절반입니다 주기함수 그래프를 그려보면 어떤 두 값 사이에서 진동하게 됩니다 어떤 두 값 사이에서 진동하게 됩니다 어떤 두 값 사이에서 진동하게 됩니다 두 값의 차이를 계산하고 그 값의 절반을 진폭이라 정의합니다 진폭을 정의하는 다른 방법은 두 값의 기준점으로부터의 거리입니다 앞서 언급된 y= -(1/2) cos3x에서 앞서 언급된 y= -(1/2) cos3x에서 진폭은 어떻게 될까요? 진폭을 구하는 쉬운 방법은 cos 함수 앞에 무엇이 곱해졌는지 보는 것입니다 sin 함수에서도 똑같이 적용할 수 있습니다 함수에 -(1/2)을 곱합니다 그러면 새로 만들어진 함수의 진폭은 -(1/2)의 절댓값인 1/2이 됩니다 여기서 부호를 고려하지 않고 절댓값만 취한 이유가 무엇일까요? 함수에 음의 부호를 곱하면 그래프가 뒤집어질 뿐입니다 최댓값과 최솟값의 차는 바뀌지 않습니다 또한 생각해볼 것은 진폭이 왜 단순히 계수의 절댓값이 되는지 입니다 이유를 알기 위해 기억해야 할 것은 전형적인 sin 함수 (y=sin x), 전형적인 cos 함수 (y= cos x)는 -1와 1 사이에서 진동합니다 앞의 계수는, 1 혹은 -1에 곱해지는 것입니다 함수 앞에 계수가 붙지 않는다면 다른 말로 계수가 1이거나 -1이면 진폭은 1이 됩니다 함수 앞에 표시한 계수 (-1/2) 만큼 곱하게 된다면 이 때 진폭은 1/2이 됩니다 이번에는 주기를 구해봅시다 이번에는 주기를 구해봅시다 여기서 우리가 알아야 할 것은 주기 함수에서 '주기'라는 것이 주기 함수에서 '주기'라는 것이 어떠한 의미를 가지는 지 입니다 어떠한 의미를 가지는 지 입니다 아까 그린 함수에 축을 표시하겠습니다 방금 그린 축을 y축이라 하겠습니다 그리고 여기에는 x축을 그어봅시다 그리고 여기에는 x축을 그어봅시다 주기함수에서 '주기'란 같은 패턴으로 자기 자신을 반복하는 가장 짧은 구간의 길이를 의미합니다 주기는 어떤 의미를 가질까요? 우선 무엇이 반복되는 지를 살펴봅시다 함수는 화면에서 처럼 감소했다가 증가합니다 계속 진행하면 또 감소했다가 증가합니다 여기서 자기 자신을 반복하는 가장 짧은 구간이 존재합니다 가장 작은 반복 패턴이 되는 것이죠 그 구간의 양 끝 길이가 한 주기가 되는 것입니다 여기랑 여기 사이는 또 다른 주기가 되는 것입니다 이것은 우리가 잡을 수 있는 유일한 패턴은 아닙니다 주기를 아까와는 다르게 올라갔다가 내려가는 패턴으로 정의할 수도 있습니다 아니면 이전과 또 다른 방법으로 음의 방향으로 진행해서 올라갔다 내려가는 것을 하나의 패턴으로 정의할 수 있습니다 어떠한 방법으로 정의해도 똑같은 주기를 구할 수 있습니다 그러면 본격적으로 이 함수의 주기를 구해봅시다 주기를 추측하기 위해서 2π를 x 앞에 붙은 계수의 절댓값인 2π를 x 앞에 붙은 계수의 절댓값인 3으로 나누겠습니다 주기는 (2/3)π 이 됩니다 이러한 방법이 가능한 이유는 무엇일까요? 전형적인 cos함수 (y=cos x) 혹은 sin 함수 (y=sin x)의 주기는 2π입니다 단위 원을 생각해보면 각 0에서 시작해서 각 2π까지 원을 따라 진행한다면 원래 시작했던 지점으로 되돌아옵니다 2π 라디안 만큼 진행할 때마다 원래의 자리로 되돌아오게 됩니다 반대로 진행한다면 -2π만큼 진행 시 출발점으로 되돌아옵니다 어떠한 각도에서 시작하던 2π만큼 진행하면 출발점으로 되돌아오게 되는 것입니다 -2π만큼 진행해도 마찬가지 입니다 앞서 언급한 함수들의 주기가 2π인 이유입니다 그리고 다양한 cos, sin 꼴 함수에서 앞서 말한 방법이 가능한 이유는 x 앞에 붙은 계수는 2π 혹은 -2π만큼 (주어진 상황은 2π) 진행하는 것을 더욱 빠르게 만듭니다 그러므로 주기는 작아지는 것입니다 그러므로 주기는 작아지는 것입니다 2π에 3배 만큼 빠른 속도로 도달하는 것입니다 여기서 왜 계수의 절댓값을 취했는지 궁금해 할 수도 있습니다 만일 x 앞 계수가 음수였다면 -2π만큼 진행하는 속도가 빨라집니다 2π든 -2π든 원 한 바퀴를 도는 것은 마찬가지입니다 이번에는 그림을 그려서 주기와 진폭을 확인해봅시다 y= -(1/2)cos 3x의 그래프를 그려봅시다 우선 축을 그립니다 y축을 그리고 x축을 그렸습니다 초록색으로 표시한 점은 x=0 인 원점입니다 그리고 y= 1/2인 직선을 그려보겠습니다 그리고 y= 1/2인 직선을 그려보겠습니다 그리고 y= 1/2인 직선을 그려보겠습니다 아직 함수를 위나 아래로 이동시키지 않았는데 원한다면 cos 함수 밖에 상수를 더해줄 수 있습니다 아까 그은 직선이 나타내는 수는 1/2이고 x축 아래에 -1/2인 지점을 표시해봅시다 -1/2인 지점을 경계로 하여 점선을 그어보도록 하겠습니다 점선을 그어보도록 하겠습니다 함수 식에서 x=0일 때는 함숫값이 무엇일까요? cos 0 = 1이고 앞에 계수 -1/2 가 곱해져 있으므로 함숫값은 -1/2 가 됩니다 함수는 - 1/2 아래로는 내려갈 수 없으므로 윗 방향으로 올라가게 됩니다 윗 방향으로 올라가게 됩니다 올라간 후 다시 내려가게 되고 다시 원래의 함수값으로 돌아오게 됩니다 한 주기를 반복하는 동안에 x축 길이는 얼마나 될까요? x축 길이는 얼마나 될까요? 앞서 이 함수의 주기는 (2/3)π 라 했으므로 이 함수는 전형적인 cos함수에 비해 3배 정도 빨리 원래 함숫값으로 돌아옵니다 주기는 (2/3)π가 됩니다 반복해서 (2/3)π만큼 진행할 때 마다 원래의 함숫값으로 돌아오게 됩니다 (2/3)π만큼 더 진행해서 x=(4/3)π가 되면 다시 하나의 주기를 완성합니다 반대 방향으로 진행해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다 표시한 이 점은 (-2/3)π이 됩니다 위의 점선의 값이 1/2이므로 진폭을 알 수 있습니다 진폭을 계산하는 두 가지 방법을 이용합시다 최댓값과 최솟값의 차이는 1입니다 그것의 절반은 1/2이 됩니다 혹은 최대 혹은 최솟값이 중간 지점으로 부터 1/2만큼 떨어져 있으므로 진폭이 1/2이 된다고 할 수 있습니다