그래프에서 사인곡선 찾기

아래의 그래프를 f(x)에 대한 방정식으로 나타내시오 이것은 명백히 주기함수입니다 그래서 여러분은 이것이 사인 또는 코사인함수라 할 것입니다 하지만 이것의 중심선과 진폭은 단순한 사인 또는 코사인함수의 것이 아닙니다 그리고 우리는 여기에서 중심선은 최댓값과 최솟값의 가운데임을 알 수 있습니다 최댓값을 보면, y좌표의 값이 1을 가리킵니다 최솟값을 보면, y좌표의 값이 -5를 가리킵니다 이 두 점 높이의 중심, 즉 1과 -5의 평균은 1과 -5를 더해 -4를 만들고 2로 나누면 -2가 됩니다 그러므로 여기가 중심선입니다 이것은 y = -2 직선과 같습니다 y = -2 이 그래프는 원래보다 아래로 내려왔습니다 그러면 이제 잠시 후 이것이 어떠한 형태의 함수인지 설명할 것입니다 그 전에 먼저 진폭에 대해서 생각해봅시다 진폭은 그 그래프가 얼마나 중심선으로부터 멀리 떨어져 있는가에 대한 것입니다 중심선으로부터 3만큼 올라갑니다 즉 -2에서 1로는 3만큼 올라갑니다 최댓값 점까지요 이제 최솟값 점까지 중심선으로부터 3만큼 내려갑니다 그래서 진폭은 3이 됩니다 진폭은 3입니다 그래서 우리는 즉시 이와 같은 형태를 가진다고 말할 수 있습니다 f(x)의 진폭은 3입니다 우리는 아직 이것이 코사인함수인지 사인함수인지 구하지 않았습니다 먼저 코사인함수를 써보겠습니다 코사인 안에는 kx가 있다고 하고 중심선 값을 더해줍니다 우리가 이미 구한 중심선 값은 -2입니다 또는 진폭이 3인 사인함수로 쓸 수도 있습니다 사인 안에는 kx가 있고요 중심선 값인 -2를 더해줍니다 그러면 이 둘 중 무엇인지 어떻게 알 수 있을까요? 먼저 이 함수의 특징을 생각합시다 x가 0일 때 kx 값에 대입하면 코사인 안의 값은 0이고 코사인 0의 값은 1이 됩니다 그것이 도이든 라디안이든, 코사인 0은 1입니다 반면에 x가 0이면 k에 0을 곱하면 0이고 사인 0은 0입니다 그래서 x가 0일 때 무엇을 알 수 있을까요? x=0일 때, 함수는 중심선을 지납니다 이것은 지금 가리키는 값이 0이라는 것을 말합니다 즉 x=0일 때, 이 값이 0이므로 코사인함수를 배제할 수 있습니다 x=0일 때 이 값은 0이 되지 않으니까요 그래서 위쪽의 함수는 배제할 수 있습니다 이제 아래의 것만 남았습니다 이제 우리는 이 상수의 값을 알아내야 합니다 그 값을 생각한다면, 이 함수의 주기를 생각합시다 중심선과 교차하는 이 점부터 시작하면 양의 기울기를 가집니다 똑같은 것이 반복되는 곳은 바로 이곳입니다 즉 주기는 8입니다 그러면 어떻게 우리가 구해야 할 계수가 주기가 8이도록 할 수 있을까요? 다시 한 번 생각해 봅시다 sin(x)의 주기를요 sin(x)의 주기는 2π입니다 각을 2π를 더하던지 빼도 단위원의 똑같은 점에 위치합니다 그러면 sin(kx)의 주기는 어떨까요? k는 k만큼 빠르게 진행한다는 것입니다 즉 똑같은 점에 k배 빨리 도달합니다 즉 주기는 1/k배로 길어집니다 즉 주기는 2π/k가 됩니다 즉 x가 증가하면서 k배 만큼 빨리 주기가 오게 하기 위해 k를 곱해주었습니다 그래서 주기는 더 짧아졌습니다 즉 한 주기를 가는 거리가 짧아졌다고 할 수 있습니다 단위원의 똑같은 점까지 가는 데 걸린 시간이요 이제 다시 생각해 봅시다 우리가 2π/k가 8이 되도록 한다면 k는 무엇일까요? 역수를 취해줍시다 그러면 k/2π는 1/8과 같습니다 양변에 2π를 곱합시다 그러면 k는 π/4와 같습니다 끝났습니다 이것이 옳은지 아닌지는 다른 점들을 대입해보면 됩니다 결국 이 함수는 3 sin(π/4 x) -2 가 됩니다