그래프 상 함수의 대칭

이 함수들 중 기함수를 찾아봅시다 기함수가 어떤 함수였는지 기억나시나요? 여기 함수가 있는데요 음, 앞서 문제에서 이미 f, g, h를 사용했으므로 우리는 j를 쓰겠습니다 함수 j가 기함수입니다 어떤 값에서 j의 함숫값을 매겨 보면 --j(a)라고 합시다 j(-a)의 값을 구했을 때 이 두 함숫값이 서로에 대해 음의 값이라면 이 함수는 기함수입니다 이 두 함숫값이 서로 같다면 --여기 이 (-) 부호가 없었다면-- 그 함수는 우함수가 되겠죠 그러면 이 함수들 중 어느 것이 기함수인지 봅시다 먼저 f(x)를 보면 어떤 특정한 점을 잡을 수 있겠죠 그럼 x가 2일 때를 봅시다 f(2)는 2가 나옵니다 그러면 f(-2)는 어떨까요? f(-2)를 보면 함숫값이 6입니다 f(-2) = 6 이 두 함숫값은 서로의 음수의 관계를 가지지 않고 이 함수가 기함수이기 위해서는 f(-2)가 이것의 -f(2)이므로 f(-2)가 -2와 같았어야 합니다 그래서 f(x)는 당연히 홀함수가 아닙니다 그러면 저는 이 조건을 만족하지 않는 예를 한 가지만 찾으면 됩니다 그러면 이것이 기함수가 아니라고 할 수 있죠 이제 g(x)를 봅시다 같은 방식으로 x가 2일 때 g(2)는 -7이 나옵니다 그러면 g(-2)를 살펴보죠 g(-2)도 -7이 나옵니다 g(2) = g(-2) 임의의 x에 대해서 항상 g(x) = g(-x) 인 경우가 생기는 것 같군요 그러므로 g(x)와 g(-x)는 같습니다 이 함수의 그래프는 는 여기 있는 y축에 대해서 대칭입니다 그러므로 g(x)는 기함수가 아니라 우함수입니다 그러면 이 함수들 중 어느 것이 기함수일까요? g(x)는 아닌 것을 이미 밝혔고 h(x)만 남았군요 그러면 h(x)가 조건을 만족하는지 봅시다 초록색으로 그려진 그래프입니다 그래서 h(1)을 잡으면 (그래프에서 확인해봅시다) x=1일때와 x=-1일 때를 살펴봅시다 절댓값이 같은 두 x에 대해서 이 경우에 함숫값을 살펴보면 1에 대해서는 조건을 성립합니다 2일 때는 --2는 x축에 있습니다 그리고 h(2)와 h(-2)는 모두 0입니다 자 절댓값이 같은 두 x에 대해서 함숫값을 비교하고 있습니다 0은 0의 음의 값과 같습니다 만약 h(4)를 잡으면 h(4)는 이 음수입니다 h(-4)는 같은 크기를 가진 양수입니다 드디어 x와 -x의 함숫값이 같으니까 이 함수는 기함수입니다 시각적으로 홀함수를 알아보는 다른 방법은 정의를 따라서 y축에 대해서 대칭인 함수일 때 입니다 그러니까 이 오른쪽 반을 뒤집고 그 뒤집은 것을 수평축에 대해 다시 뒤집으면 여기 이 부분이 보이네요 여기서는 증가하는 모양입니다 여기에서는 감소하는 형태입니다 그리고 여기서 휘어지는 모양입니다 이렇게 위쪽으로 휘어지네요 하지만 가장 쉬운 방법은 우리가 한 방법 즉 어떤 x를 보는 것입니다 예를 들어서 x가 8이면 h(8)은 대략 8정도로 보이네요 h(-8)은 -8에 꽤 가까워 보입니다 그래서 이 둘은 서로의 음의 값처럼 보이는군요 오 접고 접으니까 신기하네요 저번 시간보다 재밌나요? 수업마치겠습니다