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코스: 대수학 2 > 단원 9

단원 3: 함수의 대칭

다항식의 대칭

다항함수가 우함수인지, 기함수인지, 둘 다 아닌지 구분하는 법을 배워 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

함수 그래프가

y

축에 대하여 대칭이면 우함수라고 합니다.

대수학적으로 모든

x

에 대하여

f (- x) = f (x)

면

f

는 우함수라고 합니다.

함수 그래프가 원점에 대하여 대칭이면 기함수라고 합니다.

대수학적으로 모든

x

에 대하여

f (- x) = - f (x)

면

f

는 기함수라고 합니다.

이것이 새롭다면 함수의 대칭이란?을 추천합니다.

이번 단원에서 배우는 것

다항식의 방정식을 보고 다항식이 우함수인지, 기함수인지, 둘 다 아닌지 구분하는 방법을 배워 봅시다.

탐구: 단항식의 대칭

단항식은 항이 하나인 다항식입니다. 단항식은

f (x) = a x^{n}

꼴을 가지며

a

는 실수이고

n

은

0

이상의 정수입니다.

이 탐구에서 여러 단항식의 대칭을 분석해보고 단항식이 우함수이거나 기함수가 되는 일반적인 조건이 있는지 알아보겠습니다.

일반적으로 함수

f

가 우함수인지, 기함수인지, 둘다 아닌지 구분하려면

f (- x)

의 방정식을 분석해야 합니다.

$f (- x)$ ‍가 $f (x)$ ‍와 같으면 $f$ ‍는 우함수입니다.
$f (- x)$ ‍가 $f (x)$ ‍의 반대이면 $f$ ‍는 기함수입니다.
그 외의 경우는 우함수도, 기함수도 아닌 경우입니다.

첫 예제로

f (x) = 4 x^{3}

이 우함수인지, 기함수인지, 둘 다 아닌지 구분해 봅시다.

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & 간단히 하기 \\ = - f (x) & f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

여기서

f (- x) = - f (x)

이므로 함수

f

는 기함수입니다.

이제 스스로 예제를 풀어보고 규칙을 찾을 수 있는지 봅시다.

1) $g (x) = 3 x^{2}$ ‍은 우함수인가요, 기함수인가요, 둘 다 아닌가요?

2) $h (x) = - 2 x^{5}$ ‍은 우함수인가요, 기함수인가요, 둘 다 아닌가요?

탐구 결론

위의 문제들에서 만약

f

가 차수가 짝수인 단항식이면

f

는 우함수라는 것을 볼 수 있습니다. 비슷하게 만약

f

가 차수가 홀수인 단항식이면

f

는 기함수라는 것을 볼 수 있습니다.

	우함수	기함수
예제	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
일반	$f (x) = a x^{n}$ ‍ $n$ ‍이 $짝수$ ‍일 때	$f (x) = a x^{n}$ ‍ $n$ ‍이 $홀수$ ‍일 때

이는

n

이 짝수일 때

(- x)^{n} = x^{n}

이고

n

이 홀수일 때

(- x)^{n} = - x^{n}

이기 때문입니다.

우함수와 기함수라는 이름은 여기에서 유래하지 않았을까요!

탐구: 다항식의 대칭

이 탐구에서는 하나 이상의 항을 가진 다항식의 대칭에 대해 알아보겠습니다.

예제 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

f

가 우함수인지, 기함수인지, 둘 다 아닌지 구분하기 위해

f (- x)

를 찾아봅시다.

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n}, 짝수 n \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & 간단히 하기 \\ = f (x) & f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

f (- x) = f (x)

이므로 함수

f

는 우함수입니다.

f

의 모든 항이 짝수 차수를 가진다는 것을 기억하세요.

예제 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

여기서도

g (- x)

를 찾는 것으로 시작합니다.

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n}, 홀수 n \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & 간단히 하기 \end{aligned}

이 시점에서

g (- x)

의 각 항은

g (x)

의 각 항의 반대입니다. 다르게 말하면

g (- x) = - g (x)

이고, 따라서

g

는 기함수입니다.

g

의 모든 항이 홀수 차수를 가진다는 것을 기억하세요.

예제 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

h (- x)

를 찾아 봅시다.

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4}, (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & 간단히 하기 \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

은

h (x)

와 같지 않고

h (x)

의 반대도 아닙니다.

수학적으로

h (- x) \neq h (x)

이며

h (- x) \neq - h (x)

이므로

h

는 우함수도, 기함수도 아닙니다.

h

는 하나의 짝수 차항과 홀수 차항을 가지고 있다는 것을 기억하세요.

탐구 결론

일반적으로 다항식이 우함수인지, 기함수인지, 둘 다 아닌지는 각각의 항을 보고 알 수 있습니다.

‍	일반적인 규칙	예제 다항식
우함수	각 항이 모두 우함수이면 다항식도 우함수입니다.	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
기함수	각 항이 모두 기함수이면 다항식도 기함수입니다.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
둘 다 아님	우함수와 기함수로 이루어진 다항식은 둘 다 아닙니다.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

이해했는지 확인하기

3) $f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5$ ‍는 우함수인가요, 기함수인가요, 둘 다 아닌가요?

먼저,

f (x) = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5

의 각 항이 우함수인지 기함수인지 알아봅시다.

$- 3 x^{4}$ ‍은 $짝수$ ‍ 차항의 단항식이므로 우함수입니다.
$- 7 x^{2}$ ‍은 $짝수$ ‍ 차항의 단항식이므로 우함수입니다.
$5$ ‍는 $짝수$ ‍ 차항의 단항식이므로 우함수입니다. $5 \cdot x^{0}$ ‍라고 쓸 수도 있음을 기억하세요.

다항함수의 각 항이 다 우함수(짝수 차항)이므로 다항식 또한 우함수입니다.

대수학적으로

f (- x) = f (x)

임을 보일 수도 있습니다.

\begin{aligned} f (- x) \\ = - 3 (- x)^{4} - 7 (- x)^{2} + 5 \\ = - 3 (x^{4}) - 7 (x^{2}) + 5 & (- x)^{n} = x^{n}, 짝수 n일 때 \\ = - 3 x^{4} - 7 x^{2} + 5 & 간단히 하기 \\ = f (x) \end{aligned}

4) $g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}$ ‍은 우함수인가요, 기함수인가요, 둘 다 아닌가요?

먼저,

g (x) = 8 x^{7} - 6 x^{3} + x^{2}

의 각 항이 우함수인지 기함수인지 알아봅시다.

$8 x^{7}$ ‍은 $홀수$ ‍차항의 단항식이므로 기함수입니다.
$- 6 x^{3}$ ‍은 $홀수$ ‍차항의 단항식이므로 기함수입니다.
$x^{2}$ ‍은 $짝수$ ‍차항의 단항식이므로 우함수입니다.

다항식의 항들이 섞여 있으므로(우함수와 기함수가) 다항식은 우함수도, 기함수도 아닙니다.

이를 대수학적으로 확인할 수도 있습니다.

g (- x)

가

g (x)

도 아니고 그 반대도 아님을 볼 수 있습니다.

\begin{aligned} g (- x) & = 8 (- x)^{7} - 6 (- x)^{3} + (- x)^{2} \\ = 8 (- x^{7}) - 6 (- x^{3}) + x^{2} \\ = - 8 x^{7} + 6 x^{3} + x^{2} & 간단히 하기 \end{aligned}

5) $h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x$ ‍는 우함수인가요, 기함수인가요, 둘 다 아닌가요?

먼저,

h (x) = 10 x^{5} + 2 x^{3} - x

의 각 항이 우함수인지 기함수인지 알아봅시다.

$10 x^{5}$ ‍은 $홀수$ ‍차항의 단항식이므로 기함수입니다.
$- 1 x^{3}$ ‍은 $홀수$ ‍차항의 단항식이므로 기함수입니다.
$- x$ ‍은 $홀수$ ‍차항의 단항식이므로 기함수입니다. $- 1 \cdot x^{1}$ ‍이라고 쓸 수도 있음을 기억하세요.

다항식 함수의 각 항이 다 기함수(홀수 차항)이므로 다항식 또한 기함수입니다.

대수학적으로

h (- x) = - h (x)

임을 보일 수도 있습니다.

\begin{aligned} h (- x) & = 10 (- x)^{5} + 2 (- x)^{3} - (- x) \\ = 10 (- x^{5}) + 2 (- x^{3}) - (- x) & (- x)^{n} = - x^{n}, n 이 홀수일 때 \\ = - 10 x^{5} - 2 x^{3} + x & 간단히 하기 \\ = - h (x) \end{aligned}

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마펑위
4년 전 에 포스트 됨. 마펑위' 의 포스트“Nolkj;ganjdfjklahnsgkjfnz...”로 바로가기
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탐구: 단항식의 대칭

탐구 결론

탐구: 다항식의 대칭

예제 1: f(x)=2x4−3x2−5‍

예제 2: g(x)=5x7−3x3+x‍

예제 3: h(x)=2x4−7x3‍

탐구 결론

이해했는지 확인하기

대화에 참여하고 싶으신가요?

예제 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

예제 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

예제 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍