함수의 이동

자, 여기 아주 비슷해 보이는 두 개의 그래프가 있습니다 y = f(x) 그리고 y = g(x) 입니다 이제 우리가 해야할 일은 f 함수를 이용해 g 함수를 나타내는 식을 만드는 것입니다 잠시 비디오를 멈추고 어떻게 하면 좋을지 생각해 보시기 바랍니다 그리고 스스로 푸는 방법을 고민해 보시기 바랍니다 이제 제가 풀어 보겠습니다 우선 여기 최소점을 주의깊게 보시기 바랍니다 두 그래프 모두 최소점을 가지고 있기 때문에 보다 쉽게 접근할 수 있기 때문입니다 이제 생각해 봅시다 f를 어떻게 이동하면 좋을까요? 특히 이 최소점을 g와 겹치게 하려면 어떻게 하면 될까요? 처음 시도해 볼 수 있는 것은 왼쪽으로 이동하는 것입니다 왼쪽으로 4만큼 옮겨 보겠습니다 다른 색으로 표시해 봅시다 그럼 왼쪽으로 4만큼 이동하겠습니다 이제 왼쪽으로 4만큼, 다시 말해 -4만큼 이동했습니다 어느 쪽으로 생각하셔도 상관 없습니다 이제 아래 쪽으로 이동해 보겠습니다 다음으로 해야 할 것은 현재 y가 위치한 2에서 -5까지 이동하는 것입니다 제가 한 번 해보겠습니다 이제 아래로 이동해 봅시다 7만큼 아래로 내려갑니다 다시 말해 -7만큼 이동하는 것입니다 그럼 g(x)를 어떻게 표현할 수 있을까요? f(x)가 왼쪽으로 4만큼 이동하고 아래로 7만큼 이동한 것과 같습니다 또는 f(x)를 -4만큼 수평 이동하고 -7만큼 수직 이동했다고 할 수도 있습니다 이렇게도 볼 수 있습니다 g(x)는 f... 이건 좀 더 진한 색으로 써봅시다 f(x)에서 음의 방향으로 수평이동한 만큼 예, 수평 이동입니다 즉, x에서 수평 이동한 값을 빼고 수직 이동한 값을 더한 것과 같습니다 예, 수직으로 이동한 값을 더하는 겁니다 수평 이동한 값이 얼마였죠? 왼쪽으로 수평 이동했으니까 음의 방향으로 이동한 겁니다 그러니까 수평 이동한 값은 -4입니다 그럼, 수직 이동 값은 얼마였죠? 아래로 이동했으니까 수직으로는 -7만큼 이동했습니다 예, -7입니다 이제 됐습니다 g(x)를 구했습니다 이건 같은 색깔로 쓰겠습니다 이제 우리는 g(x)가 f(x에서 -4를 뺀 값) 즉, x에 4를 더하고 거기에 -7을 더한 것 즉, 7을 뺀 값과 같다는 것을 알게 되었습니다 다 풀었습니다 이제 수식을 들여다 보면 -7은 뭐랄까 이해하기 어렵지 않습니다 아래로 이동을 하는 거니까 -7이 되는 것이 당연합니다 하지만 언뜻 생각하면 "왼쪽으로 이동했는데 왜 +4가 되지?" 라고 할 수도 있습니다 그럼 이렇게 한 번 생각해 봅시다 이 함수에서 특정 값을 얻기 위해서는 다시 말해 여러분이 만약 f(0)의 값을 얻고자 한다면 x에 -4를 대입하면 됩니다 그럼 f(0)을 만들 수 있습니다 이렇게 0이 되는 겁니다 여러분이 이해하시는데 도움이 될지는 모르겠지만 때때로 x 자리에 다른 값들을 대입해서 실제로 함수가 어떻게 이동하는지 살펴보면 도움이 됩니다 이 수평 이동 과정을 더 쉽게 이해하고 싶다면 굳이 이 예시가 아니더라도 수직 이동 없이 수평 이동만 하는 경우를 떠올려 보시기 바랍니다 그럼 더 이해하기 쉽습니다 여기에 대해서는 더 깊이 있게 설명해주는 동영 상이 많이 있습니다 그럼 다른 예를 한 번 봅시다 자, 여기를 보시면 보라색으로 표시된 y=g(x)와 파란색으로 표시된 y=(fx)가 있습니다 주어진 문제는 f(x)가 (x+4)의 제곱근 -2와 같다면 x를 이용해 g(x)를 나타내라는 것입니다 우선 이렇게 해보겠습니다 f(x)를 이용해 g(x)를 나타내야 하는데 아까와 비슷하게 g(x)는 f(x)를 이동한 경우입니다 일반적인 방식으로 설명할테니 잘 보시기 바랍니다 그러니까 g(x)는 f(x-수평 이동 값)이 되고 여기에 수직 이동 값을 더한 것과 같습니다 f에서 g로 이동하려면 수평으로 얼마나 이동해야 될까요? 수평 이동값은 여기 이 점을 옮겼을 때 이 점과 일치하려면 수평 이동 값은 왼쪽으로 2가 됩니다 또는 수평으로 -2라고 표현할 수도 있습니다 그러니까 -2가 되는 겁니다 그럼 수직 이동 값은 얼마일까요? 수직 이동 값은 y=-2의 위치에서 y=3의 위치까지 가야 하니까 5만큼 위로 이동하는 겁니다 양의 방향으로 5만큼 이동한 것이고 따라서 수직 이동 값은 5가 됩니다 좀 전의 문제와 마찬가지로 f(x)를 이용해 g(x)를 나타내려면 g(x)는 f(x에서 -2를 뺀 값) 만큼 즉, +2 만큼 이동한 것과 같고 다시 +5 만큼 이동한 것과 같습니다 하지만 문제가 요구하는 답은 이게 아닙니다 문제에서는 이런, 죄송합니다 문제에서는 x를 이용해서 g(x)를 나타내라고 했습니다 그래서 여기에서는 x의 정의를 이용하겠습니다 우리가 분명히 알고 있는 것은 f(x)가 (x+2)의 제곱근에서 2를 뺀 것과 같다는 것입니다 그렇다면 f(x+2)는 뭐가 될까요? 자, f(x+2)는 여기 보이는 x에 x+2를 대입합니다 x+2+4의 제곱근에서 2를 빼면 x+6의 제곱근에서 2를 뺀 것과 같습니다 그렇습니다 이게 f(x+2)입니다 그럼 f(x+2)+5는 어떻게 될까요? f(x+2)+5는 여기 이 식에다가 5를 더한 겁니다 결국 이 값은 x+6의 제곱근에서 2를 빼고 여기에 5를 더한 값입니다 다른 색으로 써봅시다 더하기 5 5를 더했습니다 우리가 구하려는 답은 이렇게 됩니다 x+6의 제곱근에서 -2+5이니까 +3이 됩니다 이게 g(x)가 되는 겁니다 어떻게 풀었는지 떠올려 보시기 바랍니다 먼저 f(x)를 이용해 g(x)를 나타냅니다 f(x)에서 g(x)로 이동하려면 왼쪽으로 2 만큼 왼쪽으로 2 만큼 이동합니다 수식에서 +2라고 표현한 것은 왼쪽으로 2 만큼 이동하는 겁니다 만약 -2라고 표현되어 있다면 오른쪽으로 2 만큼 이동합니다 제가 앞 문제에서 말씀드린 것처럼 x에 값을 대입해서 확인해 보시는 것도 좋습니다 그 다음 위로 5를 이동했습니다 f(x)를 이용해서 g(x)를 나타냈습니다 그런데 문제는 x를 이용해서 f(x)를 나타내라는 것입니다 이제 f(x+2)가 무엇인지 살펴 봅니다 f(x+2)에서 x에 x+2를 대입했더니 이렇게 되었습니다 그런데 g(x)는 f(x+2)+5와 같으니까 우리가 구한 f(x+2) 값에다가 5를 더하면 g(x)가 됩니다 풀이를 마치겠습니다