로그와 지수의 그래프

여기서 제가 하고 싶은 건 가장 일반적인 지수함수 그래프와 연관된 로그함수 그래프 그리기입니다 두 그래프가 어떻게 닮았는지 보세요 제가 그릴 두 그래프는 y=2^x (2의 x 제곱) 과 y=log_2 x (로그 2의 x) 입니다 잠시 동영상을 멈추고 직접 좌표들을 구해서 같은 그래프용지에 두 그래프를 그려보세요 그리고 두 그래프가 어떻게, 왜 닮은 것인지도 생각해보세요 y=2^x 부터 봅시다 여기 x 대 y 표를 그리고 x, y -2부터 시작해서 -1, 0, 1, 2, 3 이 때 y는 2의 x 제곱이 되니까 2의 -2 제곱을 하면 1/4 가 될 것이고 2^(-1) 은 1/2 2^0 은 1 2^1 은 2 2^2 은 4 2^3 은 8 그래프로 그려봅시다 2의 3제곱은 8 2의 4제곱은... 2의... 음 아 2^3 이 8이고 2^2 은 4 2^1 은 2 2^0 은 1 2^(-1) 은 1/2 2^(-2) 은 1/4 2^(-3) 은 1/8 이고 이런 식으로 그려질 것입니다 그래서 그래프는 이런 식으로 그려질 것입니다 이런 형태의 그래프를 지수함수, 간혹 "하키스틱" 이라고 부르기도 하는데 하키스틱을 닮았기 때문입니다 증가 폭이 처음엔 작다가 엄청 커지죠 그리고, x가 점점 작아져서 왼쪽으로 갈수록 함수값이 0에 가까이 가지만 0이 되지는 않습니다 가령 2의 -100만 제곱이 몹시 작을지언정 0이 되지는 않습니다 따라서 수평 점근선 y=0 또는 x축을 가지는 것입니다 완성입니다 이제 y=log_2 x 를 그려봅시다 앞서 지수함수를 그렸으니 다른 표현 방식을 알아봅시다 이 로그의 의미는: 모든 x에 대해 로그의 밑, 즉 2의 y 제곱이 x임을 의미합니다 따라서 이것은 2^y = x 와 동일한 것입니다 눈치채셨겠지만, 이것은 아까전의 지수함수의 x와 y의 자리를 바꾼 것입니다 왼쪽은 y = 2^x 오른쪽은 x = 2^y 그래서 이 지수함수와 로그함수는 x와 y의 자리만 바꾼 것입니다 x와 y의 자리를 바꿔서 표를 그리면 간편하게 이 둘의 자리를 바꾸면 됩니다 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8 여기서 만약 x=1/4 라면 2의 몇 제곱이 1/4 인가요? 정답은 -2 제곱입니다 2의 -1 제곱이 1/2 이죠 2의 0 제곱이 1 입니다 2의 1 제곱이 2 2의 2 제곱이 4 2의 3 제곱이 8 결국 우리가 한 건 이 두 개의 자리 바꾸기입니다 이제 그래프를 그려 봅시다 x=1/4 일 때 y=-2 입니다 x=1/2 일 때 y=-1 입니다 x=1 일 때 y=0 입니다 x=2 일 때 y=1 입니다 x=4 일 때 y=2 입니다 x=8 일 때 y=3 입니다 그래서 그래프는 이렇게 생겼습니다 아마 여러분들은 패턴을 봤을 것입니다 이 두 그래프는 서로 대칭되는 모양입니다 무엇에 대칭시켜야 할까요? y=x 에 대칭시켜야 합니다 따라서 x와 y의 자리를 바꾸면 다른 말로 그래프의 축을 바꾸면 y=x 에 대칭이 되게 됩니다 사실 이 둘은 서로의 역함수 관계이기 때문입니다 한 가지 방법으로 x와 y의 자리를 바꾸었죠 이 그래프의 x가 점점 작아질수록 y는 0에 가까워지고 여기서는 y가 점점 작아질수록 x가 0에 가까워집니다 반대로 x가 0에 가까워질 때 y가 점점 더 작아진다고 해도 됩니다 여기에서의 요점은 지수함수와 로그함수의 관계를 보여주는 것입니다 그 둘은 역함수 관계이고 그래프에도 나타나 있습니다 그 둘은 y=x 에 대칭됩니다