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주요 내용

지수함수 그래프의 변환 (예제 2)

살만 칸이 y=2ˣ의 그래프가 주어졌을 때 세로축에 대해 대칭이동 후 평행이동 하여 y=(-1)2ˣ⁺³+4의 그래프를 그려 봅니다.

동영상 대본

다음과 같은 y=2^x 그래프가 아래에 주어져 있습니다 이게 그 그래프입니다 이 함수는 지수함수입니다 다음 중 어떤 그래프가 y는 -1곱하기 2의 x+3제곱 더하기 4의 그래프일까요? 여기에 네 개의 보기가 주어져 있습니다 이 보기들을 자세히 살펴보기 전에 한 번 생각해 보도록 합시다 이 그래프가 이렇게 변형되면 어떻게 될지 말입니다 눈치 채셨을지 모르지만 여기 있는 우리가 그래프를 알아내고 싶은 이 함수는 이 처음 함수의 변형입니다 어떻게 변형시킬 수 있을까요? 일단 x자리에 x+3을 대입합니다 그리고 그것에 -1일 곱합니다 그리고 나서 4를 더합니다 단계별로 가보도록 합시다 이것이 y=2^x의 그래프입니다 제가 이제 하고 싶은 건 y는 2의 x 더하기 3의 제곱의 그래프를 그려보는 것입니다 여러분이 x를 x+3으로 대체한다면 여러분은 y=2^x의 그래프를 왼쪽으로 3만큼 이동시켜야 할 겁니다 이건 직관에 반하게 보일수도 있지만 우리가 실제로 어떤 점들을 생각해 본다면 왜 그런지 이해가 될 것입니다 예를 들어서 우리의 처음 그래프 위의 x가 0인 곳에서는 y의 값이 1입니다 우리가 y값이 1인 점을 새 그래프에서 얻으려면 어떻게 해야 할까요? 여기 있는 새 함수의 그래프 말입니다 y에 1이 들어가려면 지수 부분은 여전히 0이 되어야 합니다 이 일은 x가 -3일때 일어납니다 그래서 정리하자면 x가 -3일때 y가 -1이 됩니다 눈치 채셨겠지만 우리는 이 점을 왼쪽으로 이동시켰습니다 3만큼 말이에요 비슷하게, 우리의 처음 그래프에서 x가 2이면 y는 4입니다 어떻게 하면 y=4인 점을 이 함수의 그래프에서 찾을 수 있을까요? y가 4가 되려면 지수부분에는 2가 들어가야 하고, 그래서 이 지수가 2와 같아지려면 왜냐하면 2의 제곱이 4이기 때문이에요 이 지수의 값이 2가 되게 하려면 x는 -1이 되어야 합니다 x가 -1이면 y는 4가 됩니다 x가 -1의 값을 가지면 y의 값은 4가 되는 거에요 우리는 처음 그래프의 점을 왼쪽으로 3만큼 이동시켰습니다 결론적으로 이 함수의 그래프는 최종 그래프는 아니지만 이렇게 생겼을 것입니다 y=2^x의 그래프를 왼쪽으로 3만큼 이동시킨 형태입니다 이제 다음 단계의 그래프를 알아봅시다 그럼 y=2^(x+3)에 -1을 곱해봅시다 우리가 천천히 목표를 향해 다가가고 있는게 느껴집니다 이제 y는 -1곱하기 2의 x+3제곱의 그래프를 알아봅시다 여기 y=2^(x+3)의 그래프가 있고 우리가 여기에 -1을 곱하게 되면 y가 어떤 값을 가졌든 그 값의 음의 값을 갖게 될 것입니다 x가 -3이면 y=2^(x+3)에서는 양의 값을 갖지만 거기에 -1을 곱한 함수는 x가 -3에서 음의 값을 가집니다 우리가 -1을 곱했으니까요 x가 -1일 경우에는 함수값으로 4 대신 -4를 가지게 됩니다 우리의 그래프는 뒤집어집니다 정확히는 x축을 기준으로 뒤집어지게 됩니다 그래프로 그리게 되면 이런 식이 될 겁니다 완벽한 그림은 아니지만 알아보지 못 할 정도는 아니고 우리는 이 그래프들 중 어떤 것이 y=-1*2^(x+3)의 것인지 구별할 수 있습니다 그럼 마지막으로 4를 더해야 합니다 우리는 y는 -1곱하기 2의 x+3제곱 더하기 4의 그래프를 알고 싶습니다 그러기 위해 우리는 이 그래프를 4만큼 이동시키고 싶습니다 이 점의 y값이 y=-1*2^(x+3)에서는 -1이 되지만 y=-1*2^(x+3)+4에서는 거기에 4를 더해서 함수값이 3이 될 것입니다 마찬가지로 이 점은 -4의 함수값 대신 -4에 4를 더한 0을 함수값으로 가지게 됩니다 처음에 우리의 수평 점근선이 y=0이었다면 우리의 새로운 점근선은 y=4가 될 것입니다 y=4 점근선은 이렇게 생겼을 것입니다 지우고 다시 그려볼게요 우리의 수평 점근선은 여기 이렇게 있을 것이고 우리의 그래프는 이렇게 생겼을 것입니다 우리는 그저 이 붉은 그래프를 4만큼 위로 이동시켰습니다 4만큼 위로 말입니다 이 그래프는 수평 점근선을 y=4에서 가지고 있습니다 이제 보기 중 무엇이 저 그래프와 대응되는지 알아보죠 보기 A는 수평 점근선을 y=4에 가지고 있지만 수평방향으로 맞지 않게 이동해 있습니다 이 그래프는 아마도 왼쪽으로 이동시킨 것 같지 않습니다 보기 A는 제외할 수 있겠습니다 지워버리도록 합시다 여기 있는 보기 B는 이건 x가 증가하면서 점근선에 접근합니다 그래서 보기 B도 아니고요 맞는 그래프는 점근선에 x가 감소하며 접근해야 하기 때문에 보기 B를 제외합니다 보기 C는 우리가 방금 그린 그래프와 같아보입니다 수평 점근선은 x=4이고요 x가 -3일 때 y값이 3이고요 우리가 그린 그래프와 같은 값이네요 x가 -1이면 y는 0이네요 이것도 맞는 값입니다 여러분이 이 점들을 테스트해 봐도 됩니다 보기 C가 답인 듯 하네요 D는 깔끔하게 제외되겠고요 보기를 선택하는 다른 방법도 존재합니다 저는 변환을 통해 이 문제를 해결하는 것을 좋아합니다 왜냐하면 여러분이 y=2^x에서 어떻게 이런 함수가 나왔는지 볼 수 있으니까요 하지만 다른 방법으로 해결하는 것도 가능합니다 x가 아주 아주 아주 아주 음의 값으로 커지면 2^(x+3)항은 아주 아주 아주 작아질 것입니다 그리고 2^(x+3)이 0으로 접근하면 여러분이 -1을 곱한다고 해도 그 값은 음의 값으로 0에 접근할 것입니다 하지만 전체는 4에 접근합니다 식 전체의 값은 4로 접근하게 됩니다 밑에서 말입니다 그래프는 y=4라는 수평 점근선을 가집니다 그리고 여러분은 두 값을 시도해 볼 수 있습니다 이렇게 해 보세요 이런 식으로 표를 그려서 x와 y를 쓰고 여러분은 x가 음의 무한대로 작아진다면 y값은 4가 될 것입니다 그리고 x가 -3의 값을 가진다면 y는 3의 값을 가집니다 계산하실 수 있죠? 2의 -3 더하기 3 제곱은 2의 0제곱이 되고 그 결과인 1에 -1을 곱하면 -1이 되고 거기에 4를 더하면 3입니다 그리고 x가 -1이면 -1 더하기 3은 2이고 2의 제곱은 4입니다 4 곱하기 -1은 -4이고 거기에 4를 더하면 0이 됩니다 이걸 할 수 있는 다른 방법이로는 여러분이 수평 점근선에 대해 생각해 본다면 그리고 여러분이 두 흥미로운 점을 찾는다면 "그 두 점에 대한 결과를 어떤 보기가 만족할까?" 라고 생각해 보실 수 있고 그 결과를 만족하는 것은 보기 C가 유일합니다 (-3, 3) (-1, 0) 수평 점근선은 y=4고요 그럼 이제 끝입니다 어느 방법이든 여러분이 즐기실 수 있으면 좋겠습니다