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코스: 대수학 2 > 단원 5

단원 1: 다항식의 양의 구간과 음의 구간

다항식을 0으로 만드는 값과 그래프

다항식을 0으로 만드는 값, 근, x절편 사이의 관계에 대하여 배웁니다. 다항식을 0으로 만드는 값들이 몇 번 중복되는가에 대해서도 배웁니다.

이번 단원에서 배우는 것

다항식을 공부할 때, 함수를 0으로 만드는 값, 근, 인수 그리고

x

절편이라는 용어가 자주 들립니다.

이번에는, 이러한 다항식의 특징들과 서로 가지고 있는 특별한 관계에 대하여 알아볼 것입니다.

다항함수의 기본적인 관계

다항식

f

와 실수

k

에 대하여, 다음 명제들은 같은 의미를 갖습니다:

$x = k$ ‍는 방정식 $f (x) = 0$ ‍ 의 근, 혹은 해입니다
$k$ ‍는 함수 $f$ ‍를 0으로 만드는 값입니다
$(k, 0)$ ‍은 그래프 $y = f (x)$ ‍의 $x$ ‍절편입니다
$x - k$ ‍ 는 $f (x)$ ‍의 일차식 인수입니다

다항식

g (x) = (x - 3) (x + 2)

, 즉

g (x) = (x - 3) (x - (- 2))

를 이용하여 이해해 봅시다.

먼저,

g (x)

의 일차식 인수들은

(x - 3)

과

(x - (- 2))

입니다.

g (x) = 0

에서

x

를 풀면,

x = 3

또는

x = - 2

가 나옵니다. 이들은 방정식의 해 또는 근입니다.

함수를 0으로 만드는 값은 함수의 값이

0

인

x

값입니다.

x = 3

과

x = - 2

가

g (x) = 0

의 해이므로,

3

과

- 2

는 함수

g

를 0으로 만드는 값입니다.

마지막으로,

y = g (x)

의 그래프의

x

절편은 방정식

0 = g (x)

를 만족하는데, 이는 위에서 해결하였습니다. 방정식의

x

절편은

(3, 0)

과

(- 2, 0)

입니다.

이해했는지 확인하기

1) $f (x) = (x + 4) (x - 7)$ ‍를 0으로 만드는 값은 무엇일까요?

2) 함수 $g$ ‍의 그래프는 $x$ ‍축과 $(2, 0)$ ‍에서 만납니다. $g (x) = 0$ ‍의 근은 무엇인가요?

x =

3) 함수 $h$ ‍를 0으로 만드는 값은 $- 1$ ‍과 $3$ ‍입니다. 다음 중 $h (x)$ ‍가 될 수 있는 것은 무엇일까요?

x축과의 교점과 중복된 값/근

다항식의 인수분해 과정에서 하나의 일차식 인수가 여러 번 나올 때, 함수를 0으로 만드는 값이 몇 번 중복되었는지와 관계가 있습니다.

예를 들어, 다항식

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

에서,

4

는 함수를 0으로 만드는 값이

2

번 중복되었습니다.

f (x)

를 전개하면, 인수

(x - 4)

는

2

번 나옵니다.

f (x) = (x - 1) (x - 4) (x - 4)

따라서 어떤 의미로는,

f (x) = 0

을 풀 때,

x = 4

가 두 번 나온다는 것입니다.

\begin{aligned} 0 & = (x - 1) (x - 4) (x - 4) \\ x - 1 = 0 x - 4 = 0 x - 4 = 0 \\ x = 1 x = 4 x = 4 \end{aligned}

일반적으로, 다항식의 인수분해 과정에서

x - k

가

m

번 나온다면, 함수를 0으로 만드는 값인

k

가

m

번 중복되어 나옵니다. 함수를 0으로 만드는 값이

2

번 나온다면, 함수를 0으로 만드는 값이 2번 중복된다라고 할 수 있습니다.

이해했는지 확인하기

4) $f (x) = (x - 3) (x - 1)^{3}$ ‍을 0으로 만드는 값 중 $3$ ‍번 중복된 근은 무엇일까요?

5) $g (x) = (x + 1)^{3} (2 x + 1)^{2}$ ‍을 0으로 만드는 값 중 2번 중복되는 값은 무엇일까요?

그래프와의 관련성

함수를 0으로 만드는 값의 중복도는 중요합니다. 다항식의 그래프가 함수를 0으로 만드는 값 주변에서 어떤 양상으로 나타나는지 알려주기 때문입니다.

예를 들어,

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

의 그래프는 함수를 0으로 만드는 값

1

에서와 그 값이 2번 중복된

4

에서와는 다른 양상이 나타납니다.

특히, 그래프는

x = 1

에서

x

축을 통과하고,

x = 4

에서

x

축과 접합니다.

함수를 0으로 만드는 값이 값지만 그 값들의 중복도가 다른 함수의 그래프를 살펴봅시다. 예를 들어,

g (x) = (x - 1)^{2} (x - 4)

가 있습니다. 이 함수에서

1

은 2번 중복되는 함수를 0으로 만드는 값이고, 반면

4

는 함수를 0으로 만드는 일반적인 값입니다.

따라서

g

의 그래프는

x = 1

에서

x

축에 접하고,

x = 4

에서

x

축을 통과합니다.

일반적으로, 함수

f

를 0으로 만드는 값이 홀수번 중복되었다면,

y = f (x)

의 그래프는 그

x

값에서

x

축을 통과합니다. 함수

f

를 0으로 만드는 값이 짝수번 중복되었다면,

y = f (x)

의 그래프는 그 점에서

x

축에 접합니다.

이해했는지 확인하기

6) 함수의 그래프에서, 함수를 0으로 만드는 값 $6$ ‍은 짝수번 중복된 근인가요, 홀수번 중복된 근인가요?

7) 다음 중 $h (x) = x^{2} (x - 3)$ ‍의 그래프는 무엇일까요?

심화문제

8*) 다음 중 $f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} - 4 x$ ‍의 그래프는 무엇일까요?

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