주요 내용
대수학 2
다항식을 0으로 만드는 값과 그래프
다항식을 0으로 만드는 값, 근, x절편 사이의 관계에 대하여 배웁니다. 다항식을 0으로 만드는 값들이 몇 번 중복되는가에 대해서도 배웁니다.
이번 단원에서 배우는 것
다항식을 공부할 때, 함수를 0으로 만드는 값, 근, 인수 그리고 x절편이라는 용어가 자주 들립니다.
이번에는, 이러한 다항식의 특징들과 서로 가지고 있는 특별한 관계에 대하여 알아볼 것입니다.
다항함수의 기본적인 관계
다항식 f와 실수 k에 대하여, 다음 명제들은 같은 의미를 갖습니다:
- x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995는 방정식 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 의 근, 혹은 해입니다
- start color #01a995, k, end color #01a995는 함수 f를 0으로 만드는 값입니다
- left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis은 그래프 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis의 x절편입니다
- x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 는 f, left parenthesis, x, right parenthesis의 일차식 인수입니다
다항식 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, 즉 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis 를 이용하여 이해해 봅시다.
먼저, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 일차식 인수들은 left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis 과 left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis 입니다.
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 에서 x를 풀면, x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 또는 x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 가 나옵니다. 이들은 방정식의 해 또는 근입니다.
함수를 0으로 만드는 값은 함수의 값이 0인 x값입니다. x, equals, 3과 x, equals, minus, 2가 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0의 해이므로, start color #01a995, 3, end color #01a995과 start color #01a995, minus, 2, end color #01a995는 함수 g를 0으로 만드는 값입니다.
마지막으로, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 그래프의 x절편은 방정식 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis를 만족하는데, 이는 위에서 해결하였습니다. 방정식의 x절편은 left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis 과 left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis 입니다.
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x축과의 교점과 중복된 값/근
다항식의 인수분해 과정에서 하나의 일차식 인수가 여러 번 나올 때, 함수를 0으로 만드는 값이 몇 번 중복되었는지와 관계가 있습니다.
예를 들어, 다항식 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript에서, 4는 함수를 0으로 만드는 값이 start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff번 중복되었습니다.
f, left parenthesis, x, right parenthesis를 전개하면, 인수 left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis는 start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff번 나옵니다.
따라서 어떤 의미로는, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0을 풀 때, x, equals, 4가 두 번 나온다는 것입니다.
일반적으로, 다항식의 인수분해 과정에서 x, minus, k가 m번 나온다면, 함수를 0으로 만드는 값인 k가 m번 중복되어 나옵니다. 함수를 0으로 만드는 값이 2번 나온다면, 함수를 0으로 만드는 값이 2번 중복된다라고 할 수 있습니다.
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그래프와의 관련성
함수를 0으로 만드는 값의 중복도는 중요합니다. 다항식의 그래프가 함수를 0으로 만드는 값 주변에서 어떤 양상으로 나타나는지 알려주기 때문입니다.
예를 들어, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared의 그래프는 함수를 0으로 만드는 값 1에서와 그 값이 2번 중복된 4에서와는 다른 양상이 나타납니다.
특히, 그래프는 x, equals, 1에서 x축을 통과하고, x, equals, 4에서 x축과 접합니다.
함수를 0으로 만드는 값이 값지만 그 값들의 중복도가 다른 함수의 그래프를 살펴봅시다. 예를 들어, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis가 있습니다. 이 함수에서 1은 2번 중복되는 함수를 0으로 만드는 값이고, 반면 4는 함수를 0으로 만드는 일반적인 값입니다.
따라서 g의 그래프는 x, equals, 1에서 x축에 접하고, x, equals, 4에서 x축을 통과합니다.
일반적으로, 함수 f를 0으로 만드는 값이 홀수번 중복되었다면, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis의 그래프는 그 x값에서 x축을 통과합니다. 함수 f를 0으로 만드는 값이 짝수번 중복되었다면, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis의 그래프는 그 점에서 x축에 접합니다.