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대수학 2

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단원 1: 다항식의 양의 구간과 음의 구간

다항식의 양의 구간과 음의 구간

다항식을 0으로 만드는 값과 양의 구간과 음의 구간 사이의 관계에 대하여 배웁니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

다항식 f를 0으로 만드는 값은 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis의 그래프의 x절편과 같습니다.

예를 들어, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared이 있습니다. 함수 f를 0으로 만드는 값은 minus, 3과 1이므로, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis의 그래프의 x절편은 left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis과 left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis일 것입니다.

이 내용이 새롭다면, 다항식을 0으로 만드는 값을 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

x절편이 함수의 그래프의 중요한 특징이지만, 더 좋은 그래프를 나타내기 위해서는 특징이 더 필요합니다.

함수를 0으로 만드는 값들 사이의 구간의 함수값의 부호를 알면 도움이 됩니다.

이번에는, 어떤 구간에서 다항식이 양수인지 음수인지 결정하고 이것을 그래프를 그릴 때 어떻게 사용할 것인지 배울 것입니다.

양수와 음수인 구간

함수를 0으로 만드는 연속하는 두 값 사이의 다항식의 부호는 항상 양수이거나 항상 음수입니다.

[풀이 보기]

예를 들어, 함수 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis의 그래프가 있습니다.

그래프에서, f, left parenthesis, x, right parenthesis는 항상 다음과 같습니다...

...minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1 일 때 음수입니다.
...minus, 1, is less than, x, is less than, 1 일 때 양수입니다.
...1, is less than, x, is less than, 3 일 때 음수입니다.
...3, is less than, x, is less than, infinity 일 때 양수입니다.

그러나, 함수가 0이 되는 값 사이에서 다항함수의 부호가 바뀌는 것은 필수적이지는 않습니다.

예를 들어, 함수 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared의 그래프가 있습니다.

그래프에서, g, left parenthesis, x, right parenthesis는 항상 다음과 같습니다...

...minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2 일 때 음수입니다.
...minus, 2, is less than, x, is less than, 0 일 때 음수입니다.
...0, is less than, x, is less than, infinity 일 때 양수입니다.

g, left parenthesis, x, right parenthesis는 x, equals, minus, 2 에서 부호가 변하지 않습니다.

다항식의 양의 구간, 음의 구간 결정하기

다항식 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared의 어느 구간에서 양수이고 어느 구간에서 음수인지 구해봅시다.

f를0으로 만드는 값이 minus, 3과 1입니다. 이는 f의 부호가 일정한 세 개의 구간을 만들어냅니다:

minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 에서 f의 부호를 구해봅시다.

이 구간에서 f는 항상 양수이거나 항상 양수입니다. 이 구간 안에 있는 값을 f에 대입하여 판단할 수 있습니다. minus, 4는 이 구간 안에 있으므로, f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis를 구해봅시다.

다항식의 부호만 구하면 되므로, 정확하게 계산할 필요는 없습니다:

\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2 \\\\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&{\gray{\text{답의 부호만 구합니다.}}} \\\\ &=(-)(+)&&{\gray{\text{음수의 제곱은 양수입니다.}}} \\\\ &=-&&{\gray{\text{음수와 양수의 곱은 음수입니다.}}} \end{aligned}

f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis는 음수이므로, f, left parenthesis, x, right parenthesis는 minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 에서 항상 음수입니다.

나머지 구간들도 동일한 과정을 거치면 됩니다.

[확인하기]

다음 표에 각 결과가 정리되어 있습니다.

구간	구간 내에 특정한 값에 대한 f, left parenthesis, x, right parenthesis의 값	구간에서의 f의 부호	f의 그래프와의 관계
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3	f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0	음수	x축 아래
minus, 3, is less than, x, is less than, 1	f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0	양수	x축 위
1, is less than, x, is less than, infinity	f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0	양수	x축 위

이는 y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis의 그래프와 일치합니다.

이해했는지 확인하기

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis를 0으로 만드는 값은 x, equals, minus, 6과 x, equals, minus, 1입니다.

구간 minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1에서 g의 부호는 무엇일까요?

(A 선택)
g, left parenthesis, x, right parenthesis는 구간 minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1 에서 항상 양수입니다.
(B 선택)
g, left parenthesis, x, right parenthesis는 구간 minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1 에서 항상 음수입니다.
(C 선택)
g, left parenthesis, x, right parenthesis는 구간 minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1 에서 양수이면서 음수입니다.

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis를 0으로 만드는 값은 x, equals, minus, 5, x, equals, 2, 그리고 x, equals, 3 입니다.

구간 minus, 5, is less than, x, is less than, 2에서 h, left parenthesis, x, right parenthesis의 부호는 무엇일까요?

(A 선택)
h, left parenthesis, x, right parenthesis는 구간 minus, 5, is less than, x, is less than, 2 에서 항상 양수입니다.
(B 선택)
h, left parenthesis, x, right parenthesis는 구간 minus, 5, is less than, x, is less than, 2 에서 항상 음수입니다.
(C 선택)
h, left parenthesis, x, right parenthesis는 구간 minus, 5, is less than, x, is less than, 2 에서 양수이면서 음수입니다.

심화문제

3*) 다음 중 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed의 그래프는 무엇일까요?

대략적인 그래프에서 양의 구간 & 음의 구간 판단하기

다항식의 양끝값과 함수를 0으로 만드는 값이 몇 번 중복되었는지를 바탕으로 대략적인 그래프를 그려보는 것은 다항식이 어떤 구간에서 양수인지 음수인지 판단하는 또 다른 방법입니다.

자세한 내용이 궁금하다면 다항식 그래프를 확인해 보세요.

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