다항식의 양끝값 입문

이번 영상에서 소개해 드릴 것은 다항식의 극한에 대한 것입니다 이 주제는 x값이 매우 커졌을 때 나 매우 작아졌을 때 다항식이 어떻게 변하는가에 대한 설명입니다 예를 들어 우리에게 익숙한 이차함수 꼴인 y는 ax의 제곱 더하기 bx 더하기 c가 있다고 합시다 우리는 a가 0보다 크다면 포물선은 위가 뚫린 모양을 하고 있다는 것을 압니다 그래서 이 그래프의 모양은 다음과 같이 생겼다고 말할 수 있습니다 만약 a 가 0보다 작다면 아래가 뚫린 모양을 한 포물선이 될 것입니다 삼차다항식에 대해 많이 배우지는 않았지만 우리는 다음과 같은 것들도 본 적이 있을 것입니다 예를 들어 y는 ax의 세제곱 더하기 bx의 제곱 더하기 cx 더하기 d 가 있다면 만약 a 가 0보다 크고 x의 값이 매우 작다면 이 전체값이 모두 매우 작을 것입니다 x가 커지면서 함수값도 증가할 것입니다 중간에 함수값의 증감이 바뀔수도 있지만 x 값이 매우 커진다면 함수값도 매우 커질 것 입니다 그러므로 a 가 0보다 크면 다음과 같은 모습을 할 것입니다 a 가 0보다 작으면 어떻게 될까요? a 가 0보다 클 때를 뒤집어서 생각하면 됩니다 a가 0보다 작고 x 가 매우 작은 값을 가질 때 x를 홀수번 곱하게 되면 ax 항이 양의 값을 갖게 될 것입니다 다음과 같은 모양을 하게 됩니다 처음에는 감소하다가 중간에서 함수의 증감이 바뀌고 끝부분에서 함수값이 감소하게 됩니다 함수의 극한에 대해 말할 때 이 함수는 무엇인가 이 다항식은 x의 값이 매우 커지거나 매우 작아질 때 값이 어떻게 변하겠는가 에 대해 알아보게 됩니다 또한 가운데 부분에서 함수의 증감이 바뀐다는 것을 알 수 있습니다 하지만 우리가 알고싶은 것은 x 의 극한값에서 어떤 함수값을 갖느냐 라는 것입니다 2차 다항식에 대해서는 확실히 중간에서 특이한 변화가 생기지 않지만 삼차 다항식에 대해서는 중간부분의 함수값이 특이하게 변하는 것을 확인할 수 있습니다 하지만 삼차함수에서의 극한값은 a 가 0보다 크면 극한값이 매우 작은 값에서 시작되고 오른쪽 끝에서는 극한값이 매우 큰 값을 갖는 것을 알 수 있습니다 a 가 0보다 작다면 그 반대가 됩니다 이것들은 전형적인 두가지의 다항식의 모습입니다 우리는 어느 차수의 다항식에 대해서도 생각해 볼 수 있습니다 사차 다항식의 경우를 보기로 합시다 y는 ax의 네제곱 더하기 bx의 세제곱 더하기 cx의 제곱 더하기 dx e는 수학에서 다른 의미를 갖기 때문에 쓰지 않겠습니다 어떤 알파벳을 쓰도록 할까요 f를 쓰도록 하겠습니다 이 f는 함수의 f 가 아니라 상수로써의 f 입니다 이 함수가 어떻게 생겼을지 생각해 봅시다 극한값에 대해 생각해 봅시다 또한 이차 다항식과 연관지어 생각해 봅시다 x가 매우 작다면 극한값은 양수가 됩니다 x 가 매우 작은 값을 갖고 a가 0보다 클 때 우리는 이차 다항식과 같이 매우 큰 극한값을 갖게 될 것입니다 x가 매우 크더라도 극한값은 매우 클 것입니다 x에 대한 사차 다항식은 a 를 곱해도 양수일 것입니다 그러므로 극한값이 이차다항식과 매우 비슷할 것입니다 사차 함수는 분명히 다음과 같이 중간에서 함수값의 증감을 갖게 될 것이지만 극한값에 대해서만 생각하도록 합시다 중간에 점선으로 표시한 부분을 비극한값 또는 중간 함수값 이라고 부를 수 있습니다 이 값들은 이차다항식과 비교하면 분명히 다른 값을 갖게 될 것입니다 하지만 끝에서 갖는 극한값은 같습니다 그 이유는 어떤 수를 제곱 하거나 네제곱을 할 때나 어떤 수에 대해 짝수번 거듭제곱을 하면 계수 a가 0보다 크다면 극한값이 양의 값을 갖게 될 것입니다 절댓값이 매우 큰 음수에 대해서도 극한값이 매우 큰 양수를 갖게 될 것입니다 음수를 골라 네제곱을 하거나 제곱을 하더라도 양수를 갖게 될 것입니다 비슷하게 a 가 0보다 작을 때 비슷한 극한값을 갖게 될 것입니다 가장 높은 차수가 짝수인 다항식 중 a가 음수인 것에 대해서 a 가 매우 작은 값을 갖게 되면 x의 네제곱 항이 매우 큰 양의 값을 갖게 되고 음수인 a 와 곱하게 되면 극한값은 매우 작은 값을 갖게 됩니다 그러므로 다음과 같은 그래프가 생깁니다 비슷하게, x가 매우 큰 양의 값을 갖게 되면 같은 결론에 도달합니다 양수에 음수인 a를 곱하기 때문입니다 중간에서는 다음과 같은 함수값 증감이 생깁니다 하지만 극한값은 이차 다항식의 것과 매우 유사합니다 중간값들을 무시하면 극한값이 매우 비슷합니다 오차 다항식에 대해서도 같습니다 삼차 다항식과 비교를 하자면 전체적인 개념은 x가 매우 크거나 x가 매우 작을때 극한값이 어떻게 되냐에 대한 것입니다 짝수번의 거듭제곱을 하고 있나요? 그렇다면 매우 작은 값을 갖거나 매우 큰 값을 갖더라도 모두 양수의 극한값을 갖게 됩니다 또한 계수 a에 의해서도 결정됩니다 홀수번의 거듭제곱을 한다면요? 오차 다항식을 통해 확실히 정리해 보도록 합시다 y는 ax의 다섯제곱 더하기 bx의 네제곱 과 같은 형태를 갖는다면 다 적지는 않겠습니다 a 가 0보다 크면 다음과 같이 그려집니다 a 가 0보다 클 때의 극한값이 삼차다항식의 극한값과 매우 비슷한 모양을 하고 있습니다 극한값은 다음과 같습니다 특이한 중간값을 갖게 될 것이고 제대로 그려보겠습니다 다음과 같은 중간값을 갖게 되고 x가 매우 큰 값을 갖게 되면 a 가 0보다 큰 경우의 삼차다항식의 극한값과 같은 모양을 할 것입니다 따라서 a가 0보다 클 때 다시 한번 비슷한 극한값을 갖고 a 가 0보다 작을 때도 마찬가지 입니다 다음과 같이 그려집니다 a가 음수일 때 극한값은 양수가 될 것입니다 x의 다섯제곱이 매우 작을 것이기 때문입니다 하지만 음수인 a와 곱해져서 다시 양수가 됩니다 매우 큰 양수에 대해서는 음수가 될 것입니다 다시한번 a 는 음수일 때 중간값에서 대해서는 이번 강의에서는 생각하지 않도록 하겠습니다 이 부분에 대해서는 건너뛰고 극한값에 대해서 생각합시다 짝수 차수 다항식을 보면 이차 다항식과 비슷한 극한값을 갖고 있습니다 변화하는 중간값을 무시한다면 x가 매우 작거나 x가 매우 클 때 이차 다항식과 비슷한 극한값을 갖습니다 차수가 홀수하면 삼차다항식과 비슷한 극한값을 갖게 됩니다 중간값이 어떻게 변할지는 자세히 모르지만 주어진 양수이거나 음수인 a에 대해서 다음과 같은 극한값을 갖거나 다음과 같은 극한값을 갖게 됩니다