다항식의 항등식 소개

이번 영상에서는 다항식의 공식에 대해 더 배워보고 이는 그저 다항식이 어떤 다른 식과 동일한지 알아보는 화려한 방법에 불과합니다 예를 들어 x제곱 더하기 2x 더하기 1과 친숙할겁니다 이와 같은 다항식을 많이 보았죠 이는 2차식이며 이 식은 x+1의 제곱과 같다는 것을 알 수 있습니다 x가 어떤 값이든 간에 x제곱 더하기 2x 더하기 1은 x에 1을 더하고 그 식을 제곱한 것과 같습니다 이와 같은 공식을 이항식의 곱과 이항식의 제곱을 배웠을 때 배웠습니다 하지만 이를 조금 더 복잡한 공식을 사용해 풀겠습니다 그저 이차식이 아니거나 이와 같이 뻔한 식이 아닌 공식으로요 그리고 다음 공식들이 참인지 거짓인지는 대수학을 이용해 증명하겠습니다 예를 들어 어떤 사람이 와서 m의 3제곱 빼기 1은 m 빼기 1 곱하기 1 더하기 m 더하기 m제곱이냐고 묻습니다 영상을 멈추고 그 사람한테 어떻게 답할지 생각해보세요 이 식이 참인지 혹은 거짓인지 증명을 해야 합니다 같이 한번 풀어봅시다 이를 풀 방법은 먼저 식을 전개해서 우변에 있는 식을 전개해서 좌변과 같은지 보겠습니다 먼저 m을 두 번째 식의 모든 항에 곱해주겠습니다 m 곱하기 1은 m이고 m 곱하기 m은 m의 제곱입니다 m 곱하기 m의 제곱은 m의 3제곱입니다 이제 -1을 오른편 식의 모든 항에 곱해줍시다 -1 곱하기 1은 -1이고 -1 곱하기 m은 -m이며 -1 곱하기 m의 제곱은 -m의 제곱입니다 이를 간단히 할 수 있는지 봅시다 m과 -m이 있습니다 이 둘은 상쇄됩니다 m의 제곱과 -m의 제곱이 있습니다 이 둘도 상쇄됩니다 따라서 m의 3제곱 빼기 1이 남습니다 이제 m의 3제곱 빼기 1은 m의 3제곱 빼기 1과 m이 어떤 값이든 간에 동일하며 두 식은 같은 식입니다 따라서 이는 다항식의 항등식입니다 다른 예제도 봅시다 어떤 사람이 여러분한테 와서 n 더하기 3의 제곱 더하기 2n이 8n 더하기 13과 같냐고 묻습니다 이는 다항식의 항등식인가요? 영상을 멈추고 생각해보세요 이제 같이 풀어봅시다 똑같은 방법으로 증명할게요 대수학을 사용해 풀어볼게요 첫 번째로 시도해 보기 좋죠 그리고 여러 방법이 있습니다 여기에 n이 항이 있습니다 2n이 여기에도 있죠 여기 2n을 오른쪽으로 옮기면 어떨까요 2n을 양변에 빼서 왼편에 2n을 없앱니다 이제 왼편에는 n+3의 제곱이 있으며 오른편에는 6n, 8n 빼기 2n은 6n이죠 더하기 13이 있습니다 n+3의 제곱은 무엇인가요? 이는 n의 제곱 더하기 2 곱하기 3 곱하기 n 제가 방금 한 계산이 익숙치 않다면 이항식의 제곱에 대해 다시 복습하고 오세요 이는 더하기 6n 더하기 3의 제곱 9가 됩니다 이 값이 6n 더하기 13과 같나요? 이미 이 두 식은 같아보이지 않지만 계속해서 풀어봅시다 6n을 양변에 뺀다면 어떤 식이 나오나요? 좌변에는 n의 제곱 더하기 9가 남고 우변에는 13이 남습니다 그렇다면 이 식이 성립되지 않는 n의 값이 있나요? 물론이죠 성립이 되지 않는 수없이 많은 n의 값을 구할 수 있습니다 n이 0이면 이 식은 성립되지 않습니다 n이 1이면 이 식은 성립되지 않습니다 n이 2면 이 식이 성립됩니다 하지만 n이 3이면 이 식은 성립되지 않습니다 n이 4, 5, 그리고 다른 값일때도 마찬가지입니다 따라서 대부분의 값이 성립되지 않습니다 따라서 다항식의 항등식이 되려면 모든 값에 대해서 참이여야 합니다 이 식에 들어갈 수 있는 변수에 값에 대해서 말이죠 따라서 이 식은 다항식의 항등식이 아닙니다