다항식의 항등식 분석하기

이번 영상에서는 다항식을 조작하는 것을 보고 연습해 봅시다 이게 중요한 이유는 여러분들이 스스로 다항식들을 다루면서 스스로 무엇을 하는지 잘 알고 있게 하기 위해 또는 수학이나 과학 책에서 증명 부분을 읽을 때 풀이 단계들을 이해할 수 있게 하기 위해서입니다 이런 단계들을 이해하는 것은 여러분들이 직접 다항식을 다루는 데에도 다른 사람의 풀이를 이해하는 데에도 매우 유용합니다 특히 여러분들이 직접 다항식을 풀 때는 틀린 곳을 찾아 고치는 실력을 기를 수 있습니다 시작해 봅시다 주어진 다항식은 (4x-3)(x-2)^2입니다 누군가가 다섯 단계를 거쳐 이 다항식을 전개했습니다 잠깐 영상을 멈추고 풀이 과정이 맞는지 확인해 보세요 만약 틀렸다면 어디가 틀렸는지 확인해 보세요 해 보셨나요? 같이 해 봅시다 첫 번째 단계에서는 무엇을 한 건가요? (x-2)^2를 (x-2)(x-2)로 전개했습니다 4x-3는 아직 건드리지 않았습니다 일단 첫 번째 단계는 맞습니다 두 번째 단계에서는 (x-2)끼리 곱을 계산한 것 같습니다 x 곱하기 x는 x^2이고 x 곱하기 -2는 -2x -2 곱하기 x는 -2x -2 곱하기 -2는 +4입니다 곱셈을 제대로 했습니다 두 번째 단계까지도 이상 없습니다 세 번째 단계에서는 무엇을 했나요? 계속 4x-3은 조작하지 않았습니다 이 부분을 간단히 하기 위해 중간의 두 항을 더했습니다 -2x 빼기 2x는 -4x입니다 이번에도 맞습니다 x^2와 +4는 그대로 놔두고 -2x끼리만 더했습니다 이제 네 번째 단계를 보면 이 두 식을 곱했습니다 확인해 봅시다 4x 곱하기 새로운 색깔을 쓰겠습니다 심홍색은 이제 지겨워지려 합니다 4x 곱하기 x^2는 4x^3이고 4x 곱하기 -4x는 -16x^2로 맞습니다 4x 곱하기 4는 16x입니다 -3 곱하기 x^2는 -3x^2이고 -3 곱하기 -4x는 +12x인데 여기는 -12x라고 되어 있습니다 마이너스끼리 곱했는데 마이너스라고 적혀 있습니다 -3 곱하기 -4x는 +12x입니다 이 부분은 틀렸고 -3 곱하기 4는 -12이니까 여기는 맞습니다 이 부분이 +가 되어야 합니다 네 번째 단계에서 틀렸기 때문에 답도 틀렸습니다 -12x 더하기 16x는 4x가 되지만 실제로는 +12x니까 28x가 되어야 합니다 다섯 번째 단계의 계산은 맞지만 네 번째 단계에서 틀렸습니다 그러면 조금 더 연습해 봅시다 등식을 보고 맞는지 확인해 봅시다 칸 아카데미의 예제들입니다 올바른 등식을 골라 봅시다 첫 번째 등식에서 (2x+y)(4x-2y)입니다 전개해 봅시다 2x 곱하기 4x는 8x^2이고 2x 곱하기 -2y는 -4xy이고 색깔을 바꿔서 y 곱하기 4x는 +4xy이고 y 곱하기 -2y는 -2y^2입니다 제대로 했나요? 2x 곱하기 -2y는 -4xy이고 4x 곱하기 y는 +4xy니까 이 두 항이 상쇄됩니다 남은 것은 8x^2 -2y^2인데 2를 꺼내 묶으면 2(4x^2-y^2)이므로 이 등식은 성립하지 않습니다 이제 이 식을 봅시다 (n+2)^2-n^2이 이 식과 같은지 봅시다 (n+2)^2은 얼마인가요? n^2+4n 2n 더하기 2n이니 4n입니다 더하기 4입니다 여기서 n^2를 빼면 두 항이 상쇄되고 4n+4, 즉 4(n+1)이 됩니다 그래서 이 등식은 성립합니다 마지막 등식을 해 봅시다 빈 공간에 계산해 보겠습니다 a 곱하기 2a는 2a^2이고 a 곱하기 1은 +a이고 b 곱하기 2a는 2ab 마지막으로 b 곱하기 1은 +b가 됩니다 여기서 b를 뺍니다 이 두 항이 상쇄되고 2a^2+a+2ab가 남습니다 a로 묶으면 첫 번째 항에서 a를 빼내면 2a 이 항에서 a를 빼내면 1 이 항은 2b가 됩니다 여기 있는 것과 순서만 다르고 일치합니다 a 곱하기 2a 더하기 2b 더하기 1입니다 그래서 이 식도 성립합니다 좀 연습이 되었으면 좋겠습니다 다른 사람들이 다항식을 바르게 정리했는지 그리고 여러분들이 계산을 올바로 했는지 확인해 볼 때 유용할 것입니다