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코스: 대수학 2 > 단원 3

단원 1: 단항식 인수분해하기

단항식 인수분해하기

단항식을 완전히 인수분해하는 방법이나 단항식의 인수분해에서 미지수를 찾는 방법을 배워 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

단항식은

3 x^{2}

처럼 음이 아닌 정수를 지수로 가진

x

와 상수를 곱한 것입니다. 다항식은

3 x^{2} + 6 x - 1

같은 단항식들의 합입니다.

A = B \cdot C

일 때,

B

와

C

는

A

의 인수이고,

A

는

B

와

C

로 나누어떨어집니다. 이 개념에 대해 복습하고 싶으세요? 인수분해와 나누어떨어짐을 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 이미 알고있는 정수의 인수분해를 이용해 단항식을 인수분해하는 방법을 배울 것입니다.

단항식의 인수분해란?

단항식의 인수분해란 단항식을 두 개 이상의 단항식의 곱으로 나타내는 것입니다.

예를 들어, 다음은

8 x^{5}

을 인수분해하는 몇 가지 방법입니다.

$8 x^{5} = (2 x^{2}) (4 x^{3})$ ‍
$8 x^{5} = (8 x) (x^{4})$ ‍
$8 x^{5} = (2 x) (2 x) (2 x) (x^{2})$ ‍

우변의 식을 모두 곱하면

8 x^{5}

이 됩니다.

복습문제

20 x^{6}

을 두 단항식의 곱으로 인수분해해야 합니다. 다음은 안드레이, 아밋, 앤드류의 답입니다.

안드레이			아밋			앤드류
$20 x^{6} = (2 x) (10 x^{5})$ ‍			$20 x^{6} = (4 x^{3}) (5 x^{3})$ ‍			$20 x^{6} = (20 x^{2}) (x^{3})$ ‍

1) 다음 중 어떤 학생이 $20 x^{6}$ ‍을 올바르게 인수분해했나요?

인수를 곱해서 안드레이, 아밋, 앤드류의 답을 확인해 봅시다.

(2 x) (10 x^{5})

을 풀어 안드레이가 맞는지 확인해 봅시다:

$\begin{aligned} (2 x) (10 x^{5}) & = 2 \cdot 10 \cdot x \cdot x^{5} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

안드레이가 맞습니다.

(4 x^{3}) (5 x^{3})

을 풀어 아밋이 맞는지 확인해 봅시다:

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (5 x^{3}) & = 4 \cdot 5 \cdot x^{3} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

아밋이 맞습니다.

마지막으로

(20 x^{2}) (x^{3})

풀어 앤드류가 맞는지 확인해 봅시다:

$\begin{aligned} (20 x^{2}) (x^{3}) & = 20 \cdot x^{2} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{5} \end{aligned}$ ‍

앤드류는 틀렸습니다.

안드레이와 아밋 둘 다 맞습니다.

단항식을 완전히 인수분해하기

복습하기: 정수의 인수분해

정수를 소수의 곱으로 나타내서 정수를 완전히 인수분해해 봅시다.

예를 들어,

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

입니다.

단항식

단항식을 끝까지 인수분해하려면, 계수를 소수의 곱으로 나타내고 변수를 풀어서 씁니다.

예를 들어,

10 x^{3}

을 완전히 인수분해하려면,

10

을 소인수분해하여

2 \cdot 5

로 쓰고

x^{3}

을

x \cdot x \cdot x

로 씁니다. 따라서

10 x^{3}

을 완전히 인수분해하면 다음과 같습니다:

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

이해했는지 확인하기

2) 다음 보기 중 $6 x^{2}$ ‍ 을 완전히 인수분해한 것은 무엇인가요?

3) 다음 보기 중 $14 x^{4}$ ‍ 을 완전히 인수분해한 것은 무엇인가요?

단항식의 빠진 인수 구하기

복습하기: 정수의 인수분해

어떤 정수

b

에 대해

56 = 8 b

라고 해 봅시다. 다른 인수는 어떻게 찾을 수 있을까요?

56 = 8 b

의 양변을

8

로 나눠서

b

에 대해 정리해 봅시다. 인수는

7

입니다.

단항식

이 방법을 단항식에도 적용할 수 있습니다. 예를 들어 단항식

C

에 대해

8 x^{5} = (4 x^{3}) (C)

라고 해 봅시다.

8 x^{5}

을

4 x^{3}

으로 나누면

C

를 찾을 수 있습니다:

$\begin{aligned} 8 x^{5} & = (4 x^{3}) (C) \\ \frac{8 x^{5}}{4 x^{3}} & = \frac{(4 x^{3}) (C)}{4 x^{3}} & 4 x^{3} 으 로 양 변 을 나 눕 니 다 \\ 2 x^{2} & = C & 지수법칙으로 정리합니다 \end{aligned}$ ‍

4 x^{3}

과

2 x^{2}

의 곱이

8 x^{5}

인지 확인해서 답이 맞는지 알아봅시다.

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (2 x^{2}) & = 4 \cdot 2 \cdot x^{3} \cdot x^{2} \\ = 8 x^{5} \end{aligned}$ ‍

이해했는지 확인하기

4) 다음의 등식이 참이 되게 하는 인수 $B$ ‍ 를 찾으세요.

28 x^{5} = (B) (7 x)

5) 다음의 등식이 참이 되게 하는 인수 $C$ ‍ 를 찾으세요.

40 x^{9} = (C) (4 x^{3})

C =

여러 가지 인수분해 방법

12

가 있을 때, 이 수는 네 가지 방법으로 인수분해할 수 있습니다.

$12 = 2 \cdot 6$ ‍
$12 = 3 \cdot 4$ ‍
$12 = 12 \cdot 1$ ‍
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍

그러나

12

를 소인수분해하는 방법은 한 가지입니다:

2 \cdot 2 \cdot 3

단항식의 경우도 같습니다.

18 x^{3}

을 인수분해하는 방법은 여러 가지입니다. 다음은 그 예입니다.

$18 x^{3} = 2 \cdot 9 \cdot x^{3}$ ‍
$18 x^{3} = 3 \cdot 6 \cdot x \cdot x^{2}$ ‍
$18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x^{3}$ ‍

하지만 완전히 인수분해하는 방법은 한 가지입니다.

18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x

심화문제

6*) $22 x y^{2}$ ‍ 을 완전히 인수분해하세요.

22 x y^{2} =

이 식은 변수가 여러 개입니다. 하지만 위와 같은 방법으로 완전히 인수분해할 수 있습니다.

이 경우에,

22 x y^{2} \neq 22 (x y)^{2}

이라는 사실이 중요합니다.

22 x y^{2}

을 완전히 인수분해하려면,

22

를 소인수분해하여

2 \cdot 11

로 쓰고

y^{2}

을

y \cdot y

로 씁니다.

x

는 더 이상 분해할 수 없습니다.

$22 x y^{2} = 2 \cdot 11 \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

7*) 아래의 직사각형은 넓이가 (

24 x^{3}

)

m^{2}

이고 가로가 (

4 x^{2}

)

m

입니다.

직사각형의 세로의 길이는 얼마인가요?

세로 =

m

직사각형의 넓이는

가로 \times 세로

입니다.

공식에 대입하면 다음과 같습니다:

$\begin{aligned} 넓 이 & = 가 로 \cdot 세 로 \\ 24 x^{3} & = (4 x^{2}) (세 로) \end{aligned}$ ‍

식의 양변을

4 x^{2}

으로 나누면

24 x^{3}

의 다른 인수, 또는 직사각형의 세로 길이를 구할 수 있습니다.

$\begin{aligned} 24 x^{3} & = (4 x^{2}) (세 로) \\ \frac{24 x^{3}}{4 x^{2}} & = \frac{(4 x^{2}) (세 로)}{4 x^{2}} & 양변을 4 x^{2} 으로 나누세요 \\ 6 x & = 세 로 \end{aligned}$ ‍

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