등비급수 문제 해결하기 : 하이킹

슬론이 4일짜리 하이킹을 했다고 합니다 매일 슬론은 전날에 걸은 거리의 20%를 더 걸었습니다 매일 슬론은 전날에 걸은 거리의 20%를 더 걸었습니다 슬론은 총 27km를 걸었습니다 슬론이 첫날에 걸은 거리는 얼마일까요? 슬론이 첫날에 걸은 거리는 얼마일까요? 소수 첫째 자리에서 답을 반올림하라고 하네요 항상 그랬듯이 동영상을 정지하고 슬론이 첫날에 얼마나 걸었는지 스스로 한 번 풀어보세요 좋아요 이제 슬론이 첫날에 걸었던 거리를 a라고 가정합시다 그리고 a를 사용해서 걸었던 총거리를 식으로 한 번 나타내 봅시다 그 식은 27과 같겠죠 그리고 그 식을 이용해서 a를 찾을 수 있을 것입니다 첫날에 슬론은 akm를 걸었습니다 둘째 날은 어떨까요? 문제에서는 매일 전날보다 20% 더 먼 거리를 걸었다고 나와 있습니다 따라서 다음날에는 akm보다 20% 먼 거리 즉 1.2 ᐧ a 만큼 걸었을 겁니다 그다음 날인 세 번째 날은 어떤가요? 그것은 이틀째에 걸었던 거리에서 1.2를 곱한 값일 것입니다 이는 1.2 ᐧ 1.2 그러니까 1.2² a가 될 것입니다 네 번째 날에는 얼마나 걸었을까요? 슬론은 4일짜리 하이킹을 떠났으므로 이것이 여행의 마지막 날입니다 네 번째 날은 세 번째 날에 1.2를 곱한 거리입니다 이것은 1.2³ a입니다 이것이 슬론이 4일 동안 걸은 거리를 나타내는 식입니다 슬론이 총 27km를 걸었다는 것을 알고 있으니 이 식은 27km와 같은 값을 가집니다 여기서 a를 한 번 구해봅시다 a를 괄호 밖으로 빼고 a(1+ 1.2 + 1.2² + 1.2³)가 a(1+ 1.2 + 1.2² + 1.2³)가 27과 같다는 식을 세웁니다 그러면 a = 27 / (1+ 1.2 + 1.2² + 1.2³)입니다 그러면 a = 27 / (1+ 1.2 + 1.2² + 1.2³)입니다 그러면 a = 27 / (1+ 1.2 + 1.2² + 1.2³)입니다 이것을 계산하기 위해서는 계산기가 필요합니다 하지만 다른 방식을 사용하려고 합니다 여기 20개의 항들이 있어도 가능한 방식입니다 이 방식도 이론적으로는 가능하지만 훨씬 복잡하며 200개의 항이 있다면 더욱 어려워집니다 그래서 다른 방식은 유한등비급수의 공식을 사용해 나오는 값을 얻는 것입니다 그리고 기억하세요 첫 n개의 항들의 합은 첫 번째 항 즉 a에서 a ᐧ 공비를 빼는데 이 경우에 공비는 1.2입니다 연속되는 모든 항들이 이전 항에 1.2를 곱한 것이니까요 첫 항과 공비의 n 거듭제곱을 1 - 공비로 나눈 것입니다 다른 동영상에서 이것이 어디에서 유래했는지 설명하고 증명했으니 여기서는 바로 사용해 보도록 하죠 a가 무엇인지는 이미 알고 있습니다 이 상황에서 공비는 1.2입니다 이 상황에서 공비는 1.2입니다 n은 4와 같습니다 달리 생각해보는 방법 중 하나는 여기 보이는 첫 번째 항에서 아직 도달하지 않은 항을 뺀다고 생각하면 됩니다 만약 다섯 번째 항이 있었다면 그 다섯 번째 항을 빼는 것과 같을 겁니다 여기서 네제곱에는 도달하지 않았기 때문에 다섯 번째 항은 네제곱이 되었을 것이고 그것을 1 - 공비로 나누면 됩니다 여기서 식의 좌변을 첫 번째 항에서 첫 번째 항 ᐧ 공비 즉 1.2의 네제곱을 뺀 것으로 다시 적어볼 수 있습니다 모두 1 - 공비로 나누어주고요 그리고 이 식은 27과 같죠 스크롤을 좀 더 내려서 문제를 풀 공간을 좀 더 확보해 보죠 이것을 좀 더 간단하게 나타낼 수 있겠네요 분모는 0.2입니다 분자에서는 a를 괄호 밖으로 빼낼 수 있습니다 그래서 이것은 곧 a(1 - 1.2^4)입니다 그리고 여기서에서는 분자와 분모에 모두 -1을 곱해줄 수 있습니다 분자와 분모에 모두 -1을 곱해줄 수 있습니다 여기에서 a를 분수 밖으로 빼 주고 순서를 바꿔서 음수부호를 없애 줍니다 a(1.2 ^4 - 1 / 0.2) = 27입니다 a(1.2 ^4 - 1 / 0.2) = 27입니다 여기에서 제가 한 것은 a를 분수 밖으로 빼 준게 전부입니다 분자와 분모를 -1로 곱해 주었고요 분자에 -1을 곱하면 이 두 수를 뒤바꿔 주겠죠 그리고 -0.2에 -1을 곱하면 +0.2입니다 그래서 이제 양변을 이것의 역수로 곱해주면 됩니다 여기 한 번 적어볼게요 (0.2 / 1.2^4 - 1) 여기도 (0.2 / 1.2^4 - 1)를 넣습니다 여기도 (0.2 / 1.2^4 - 1)를 넣습니다 이 두 개는 소거하고 이 두 개도 소거합니다 이것들을 소거하기 위해 그러한 절차를 거친 것이죠 이제 남은 것은 노란색으로 한 번 적어볼게요 a = 27 ᐧ 0.2 / 1.2^4 -1입니다 a = 27 ᐧ 0.2 / 1.2^4 -1입니다 이 식은 아까 보았던 식과 같은 값을 가지지만 이 식은 항이 100개가 있어도 충분히 유용합니다 이 식은 항이 100개가 있어도 충분히 유용합니다 이제 계산기를 사용해 봅시다 이 식은 어떤 값을 내놓을까요 먼저 분모를 계산해 볼게요 1.2^4 -1은 1.2^4 -1은 다시 말하지만 분모입니다 그래서 이 값의 역수를 계산하고 27 ᐧ 0.2를 곱해준다면 27 ᐧ 0.2를 곱해준다면 5.029라는 값이 나옵니다 이제 소수 첫째 자리에서 답을 반올림해야 하니 이것은 약 5킬로미터 정도의 거리입니다 이것은 약 5킬로미터 정도의 거리입니다 즉 슬론은 하이킹의 첫날에 약 5킬로미터를 여행한 것이죠