단항식의 최대공약수

다음 단항식의 최대공약수를 구하시오 최대공약수란 두 수를 나누는 가장 큰 공약수를 말합니다 하지만 우리는 두 수가 아닌 두 식의 최대공약수를 찾아야 합니다 문제를 풀 때 주의할 점은 식의 관점에서 최대라는 단어를 어떻게 해석해야 하는가입니다 식에서 있어 최대라 함은 주어진 단항식에 대하여 가장 많은 인수를 포함한다는 뜻입니다 반드시 계수가 클 필요는 없습니다 왜냐하면 이 변수들 중 몇몇은 음수 값을 가질 수도 있고 1보다 작은 값을 가져서 제곱을 하면 더 작아질 수도 있습니다 제 생각에는 개념 설명을 구체적으로 하는 것보다 전체적인 풀이과정을 통해서 이해하는 것이 더 좋을 것 같습니다 최대공약수를 찾기 위해서 일단 이 수들을 소인수분해해보도록 하겠습니다 지금 하려고 하는 것은 계수 부분의 소인수분해와 변수 부분의 인수분해가 합쳐진 과정이라고 볼 수 있습니다 10cd^2를 쓸 때 10을 소인수분해하여 다시 쓰도록 합시다 10을 소인수분해하면 2×5입니다 2, 5 모두 소인수입니다 결국 10은 2 곱하기 5로 소인수분해하면 되겠네요 c는 분해할 수 없습니다 c 이외에는 무엇으로 c를 분해할 수 있는지 알 수가 없기 때문이죠 그래서 2 × 5 × c 그리고 d^2는 다시 d × d로 나타낼 수 있습니다 이렇게 해서 주어진 단항식을 각 구성 성분의 곱으로 나타내는 것입니다 계수 부분은 소인수의 곱으로 표현하고 나머지 부분은 거듭제곱되어있는 것을 풀어서 나열해줍니다 자, 이제 25c^3d^2을 소인수분해해줍시다 25는 5×5입니다 그리고 c^3은 c × c × c입니다 d의 제곱은 d × d입니다 자, 이제 두 식의 최대공약수를 구해봅시다 두 식 모두 5를 하나씩 가지고 있고 c도 하나씩 가지고 있습니다 그리고 두 식 모두 d를 두 개씩 가지고 있군요 따라서 두 단항식의 최대공약수는 두 식이 공통으로 가지고 있는 부분일 것입니다 공통으로 가지고 있는 부분은 바로 5와 c도 하나씩 있으니 5 × c d도 두 개씩 가지고 있었지요 5 × c × d^2가 됩니다 정리하면 5 cd^2 입니다 따라서 5cd^2을 최대공약수라 할 수 있습니다 우리가 구한 식의 값은 c가 음수인지 양수인지에 따라서 또는 d가 0보다 큰지 작은지에 따라서 값이 달라집니다 이렇게 두 단항식의 최대공약수를 구했습니다 두 식을 모두 나눌 수 있고 가장 많은 인수들을 포함한 식입니다