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코스: 대수학 2 > 단원 3

단원 3: 공통인수 구하기

공통 인수 사용하여 다항식 인수분해하기

다항식에서 공통 인수를 괄호 밖으로 빼는 방법에 대해 배워 봅시다. 예를 들어, 6x²+10x를 2x(3x+5)로 인수분해 합니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

두 개 이상의 단항식의 최대공약수는 단항식에 공통으로 들어 있는 모든 소인수의 곱입니다. 예를 들어,

6 x

와

4 x^{2}

의 최대공약수는

2 x

입니다.

처음 보는 개념이라면, 단항식의 최대공약수를 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 다항식을 공통인수로 묶어 인수분해하는 방법을 배울 것입니다.

분배법칙: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

공통 인수를 괄호 밖으로 묶는 방법을 이해하려면 분배법칙을 알아야 합니다.

예를 들어, 분배법칙을 이용하여

3 x^{2}

과

4 x + 3

의 곱을 다음과 같이 구할 수 있습니다:

이항식의 각 항에 공통인수인

3 x^{2}

이 곱해진 것을 확인할 수 있습니다.

등호에 의해, 분배법칙을 거꾸로 사용하여도 성립합니다!

분배법칙을 이용하여

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

에서 인수

3 x^{2}

을 괄호 밖으로 묶어 내면

3 x^{2} (4 x + 3)

을 얻을 수 있습니다.

주어진 식은 두 항을 합한 형태였지만, 분배법칙 적용 후, 두 다항식의 곱

y = a (x - p) (x - q)

으로 나타낼 수 있었기 때문에 인수분해 되었다고 할 수 있습니다.

이해했는지 확인하기

1) $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍를 $y = a (x - p) (x - q)$ ‍ 꼴로 나타내세요.

공통 인수를 괄호 밖으로 묶어 내어 인수분해하기

공통 인수를 밖으로 묶어 내어 다항식을 인수분해하려면, 다음과 같은 과정을 거칩니다:

다항식에서 모든 항의 공통 인수를 찾습니다.
각 항을 공통 인수와 다른 인수의 곱으로 나타냅니다.
분배법칙을 이용하여 공통 인수를 밖으로 묶어 내어 인수분해합니다.

2 x^{3} - 6 x^{2}

에서 공통 인수를 밖으로 묶어 내어 인수분해해 봅시다.

1 단계: 공통 인수를 찾아보세요.

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

따라서

2 x^{3} - 6 x^{2}

의 공통 인수는

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

입니다.

2 단계: 각 항을 $2 x^{2}$ ‍와 다른 인수의 곱으로 나타내세요.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

따라서, 다항식은

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

으로 나타낼 수 있습니다.

3 단계: 공통 인수를 이용해 인수분해를 해 보세요.

이제 분배법칙을 적용하여 인수

2 x^{2}

을 밖으로 묶어낼 수 있습니다.

결과 확인하기

다항식에 다시

2 x^{2}

을 곱하여 인수분해를 올바르게 했는지 확인할 수 있습니다.

처음의 다항식과 같으므로, 인수분해가 올바르게 되었습니다.

이해했는지 확인하기

2) 공통 인수를 이용하여 $12 x^{2} + 18 x$ ‍를 인수분해하세요.

1 단계: 공통 인수를 찾아보세요.

$12 x^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍
$18 x = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x$ ‍

따라서

12 x^{2} + 18 x

의 공통 인수는

2 \cdot 3 \cdot x

또는

6 x

입니다.

2 단계: 각 항을 $6 x$ ‍와 다른 인수의 곱으로 나타내세요.

$12 x^{2} = (6 x) (2 x)$ ‍
$18 x = (6 x) (3)$ ‍

다항식을

12 x^{2} + 18 x = (6 x) (2 x) + (6 x) (3)

으로 나타낼 수 있습니다.

3 단계: 공통 인수를 이용해 인수분해를 해 보세요.

이제 분배법칙을 적용하여 인수

6 x

를 밖으로 묶어 낼 수 있습니다.

따라서, 공통 인수를 이용해 $12 x^{2} + 18 x$ ‍를 인수분해하면 $6 x (2 x + 3)$ ‍이 됩니다.

3) 공통 인수를 이용하여 다음 다항식을 인수분해하세요.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

1 단계: 공통 인수를 찾아보세요.

$10 x^{2} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x$ ‍
$25 x = 5 \cdot 5 \cdot x$ ‍
$15 = 3 \cdot 5$ ‍

따라서,

10 x^{2} + 25 x + 15

의 공통 인수는

5

입니다.

2 단계: 각 항을 $5$ ‍와 다른 인수의 곱으로 나타내세요.

$10 x^{2} = (5) (2 x^{2})$ ‍
$25 x = (5) (5 x)$ ‍
$15 = (5) (3)$ ‍

다항식을

10 x^{2} + 25 x + 15 = (5) (2 x^{2}) + (5) (5 x) + (5) (3)

으로 나타낼 수 있습니다.

3 단계: 공통 인수를 이용해 인수분해를 해 보세요.

이제 분배법칙을 적용하여 인수

5

를 밖으로 묶어 낼 수 있습니다.

따라서, 공통 인수를 이용해 $10 x^{2} + 25 x + 15$ ‍를 인수분해하면 $5 (2 x^{2} + 5 x + 3)$ ‍이 됩니다.

4) 공통 인수를 이용하여 다음 다항식을 인수분해하세요.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

1 단계: 공통 인수를 찾아보세요.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$8 x^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$x^{2} = x \cdot x$ ‍

따라서

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}

의 공통 인수는

x \cdot x

또는

x^{2}

입니다.

2 단계: 각 항을 $x^{2}$ ‍과 다른 인수의 곱으로 나타내세요.

$x^{4} = (x^{2}) (x^{2})$ ‍
$8 x^{3} = (x^{2}) (8 x)$ ‍
$x^{2} = (x^{2}) (1)$ ‍

다항식을

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} = (x^{2}) (x^{2}) - (x^{2}) (8 x) + (x^{2}) (1)

과 같이 나타낼 수 있습니다.

3 단계: 공통 인수를 이용해 인수분해를 해 보세요.

이제 분배법칙을 적용하여 인수

x^{2}

을 밖으로 묶어 낼 수 있습니다.

따라서, 공통 인수를 이용해 $x^{4} - 8 x^{3} + x^{2}$ ‍을 인수분해하면 $x^{2} (x^{2} - 8 x + 1)$ ‍이 됩니다.

좀 더 효율적인 방법

공통 인수를 밖으로 묶어 내는 방법에 익숙해졌다면, 더 빠른 방법을 배워 봅시다.

$y = a (x - p) (x - q)$ ‍ 꼴은 처음 다항식의 각 항을 공통 인수로 나눈 값의 합과 공통 인수를 곱한 형태입니다.

공통 인수가

5 x

인

5 x^{2} + 10 x

를 빠른 방법을 이용해 인수분해해 봅시다.

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

이항식 인수를 밖으로 묶어 내어 인수분해하기

다항식의 공통인수가 단항식일 필요는 없습니다.

예를 들어, 다항식

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

이 있습니다.

이항식

2 x - 1

이 각 항에 공통으로 들어있습니다. 분배법칙을 이용해서 이를 밖으로 묶어 내어 인수분해를 해 봅시다:

이해했는지 확인하기

5) 공통인수를 이용하여 다음 다항식을 인수분해하세요.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

다양한 인수분해의 종류

다른 과정을 설명하기 위해 "인수"라는 용어를 사용했습니다.

단항식을 인수분해하여 단항식의 곱으로 나타냅니다. 예를 들어, $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍ 입니다.
다항식에서 분배법칙을 이용하여 공통인수를 찾습니다. 예를 들면, $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍입니다.
공통되는 이항식을 묶어 내어 두 이항식의 곱으로 나타냅니다. 예를 들면, $x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)$ ‍입니다.

방법은 다르지만 세 경우 모두 둘 이상의 인수들의 곱으로 다항식을 표현하고 있습니다. 따라서 세 경우는 다항식을 인수분해한 것입니다.

심화문제

6*) 공통인수를 이용하여 다음 다항식을 인수분해하세요.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

1 단계: 공통 인수를 찾아보세요.

$12 x^{2} y^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

따라서

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2}

의 공통인수는

6 x^{2} y^{2}

입니다.

2 단계: 각 항을 $6 x^{2} y^{2}$ ‍과 다른 인수의 곱으로 나타내세요.

$12 x^{2} y^{5} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3})$ ‍
$30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})$ ‍

다항식을

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} = (6 x^{2} y^{2}) (2 y^{3}) - (6 x^{2} y^{2}) (5 x^{2})

과 같이 나타낼 수 있습니다.

3 단계: 공통 인수를 이용해 인수분해를 해 보세요.

이제 분배법칙을 적용하여 인수

6 x^{2} y^{2}

을 밖으로 묶어 낼 수 있습니다.

인수분해된 다항식은

6 x^{2} y^{2} (2 y^{3} - 5 x^{2})

과 같이 나타냅니다.

7*) 넓이가

(14 x^{4} + 6 x^{2})

m^{2}

인 큰 직사각형을 각각 넓이가

(14 x^{4})

m^{2}

와

(6 x^{2})

m^{2}

인 두 개의 작은 직사각형으로 나눕니다.

직사각형의 세로(

m

)는

14 x^{4}

과

6 x^{2}

의 공통인수와 같습니다.

큰 직사각형의 가로와 세로 길이는 얼마입니까?

세로 =

m

가로 =

m

직사각형의 세로 길이는

14 x^{4}

과

6 x^{2}

의 공통인수인 것을 압니다. 인수를 찾아봅시다.

$14 x^{4} = 2 \cdot 7 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

공통인수는

2 x^{2}

이므로, 직사각형의 세로 길이는

2 x^{2}

입니다.

큰 직사각형의 가로 길이는 두 개의 작은 직사각형의 가로 길이로 구할 수 있습니다. 넓이를 구하는 공식인

넓이 = 가로 \times 세로

와

세 로 = 2 x^{2}

를 이용해서 구해 봅시다.

$\begin{aligned} 넓이가 14 x^{4} 인 직사각형 \\ 14 x^{4} = (가 로) (2 x^{2}) \\ \frac{14 x^{4}}{2 x^{2}} = 가 로 \\ 7 x^{2} = 가 로 \end{aligned}$ ‍ $\begin{aligned} 넓이가 6 x^{2} 인 직사각형 \\ 6 x^{2} = (가 로) (2 x^{2}) \\ \frac{6 x^{2}}{2 x^{2}} = 가 로 \\ 3 = 가 로 \end{aligned}$ ‍

두 직사각형의 가로 길이를 합하여 큰 직사각형의 가로 길이를

7 x^{2} + 3

으로 나타낼 수 있습니다.

큰 직사각형의 넓이를 나타내는 식

14 x^{4} + 6 x^{2}

에서 인수

2 x^{2}

을 밖으로 빼어 인수분해를 해도 같은 결과가 나왔을 것입니다.

$\begin{aligned} 14 x^{4} + 6 x^{2} & = (2 x^{2}) (7 x^{2}) + (2 x^{2}) (3) \\ = 2 x^{2} (7 x^{2} + 3) \end{aligned}$ ‍

큰 직사각형의 가로는 두 가지의 방법에서 동일하게 $(7 x^{2} + 3)$ ‍ $m$ ‍인 것을 확인할 수 있습니다.

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