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다항식의 나눗셈을 이용하여 인수분해하기
높은 차수의 다항식의 일차식 인수를 알고 있다면, 다항식 나눗셈을 이용하여 다항식의 다른 인수를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 다항식을 완전히 인수분해하기 위해 (x+2)가 (4x3+19x2+19x-6)의 인수라는 사실을 이용할 수 있습니다.
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동영상 대본
다항식 p(x)는 4x³ +19x² + 19x - 6이고 (x + 2)를 인수로 가지고 있습니다 p(x)를 일차식 인수의 곱으로
다시 써 보세요 그러면 동영상을 멈추고
스스로 해 보세요 dlwp같이 해 봅시다 이제 같이 해 봅시다 이 x + 2가 인수라는
두 번째 정보가 없었다면 이 x + 2가 인수라는
두 번째 정보가 없었다면 이 다항식은 인수분해하기
쉽지 않았을 것입니다 하지만 x + 2라는
인수를 알고 있기 때문에 이것으로 방정식을 나누어 무엇이 남는지 보고 거기서 인수분해 할 수 있는지
보면 됩니다 그렇게 해보죠 x + 2로 방정식을 나누어 봅시다 4x³ + 19x² + 19x - 6 말이죠 4x³ + 19x² + 19x - 6 말이죠 이미 많이 해 보았듯이 최고차항을 봅니다 x는 4x³에 4x²번 들어가니 차수가 2인 열에
4x²을 넣습니다 4x²에 x를 곱하면
4x³입니다 4x²에 2를 곱하면
8x²입니다 그리고 이것들을
위에서 빼주어야 합니다 빼 볼게요 그러면 남는 것은 19x² - 8x²은 11x²이고 + 19x를 내려줍니다 + 19x를 내려줍니다 그리고 다시
x와 11x²을 보면 x는 11x²에
11x번 들어갑니다 그러니 여기는 + 11x죠 11x에 x를 곱하면
11x²입니다 11x에 2를 곱하면
22x입니다 이것을 청록색에서
빼야 합니다 그러면 어떤 것의 19배에서
-22배를 빼는 것이니 어떤 것의
-3배가 남습니다 이 경우엔 -3x입니다 그리고 -6을 내려줍니다 다시 x와 -3x를 보면 x는 -3x에
-3번 들어갑니다 -3에 x를 곱하면
-3x가 맞죠 -3에 2를 곱하면 -6입니다 그리고 보라색에서
빨간색을 빼려면 그리고 보라색에서
빨간색을 빼려면 둘 다 모두 음수로
곱해줄 수 있겠죠 그러면 모두 소거되어
나머지가 없게 됩니다 이제 p(x)를
다시 쓸 수 있습니다 p(x)는
(x + 2)에 이것 모두를 곱한 것 4x² + 11x -3을 곱한 것입니다 하지만 아직
끝나지 않았습니다 일차식의
곱으로 나타내지 않았으니까요 이건 일차식이지만 4x² + 11x -3은
아직 이차식입니다 따라서 인수분해를
더 해야 합니다 봅시다 방법이 몇 가지 있는데 근의 공식을
이용할 수도 있고 최고차항의 계수가
1이 아니도록 인수분해 할 수 있습니다 그렇게 하는 이유는 여기 최고차항의 계수가
1이 아니기 때문입니다 따라서 곱하여 4 x -3이 되는
두 수를 찾아야 합니다 따라서 곱하여 4 x -3이 되는
두 수를 찾아야 합니다 두 수를 a와 b라 합시다 두 수를 a와 b라 합시다 a ᐧ b는 4 ᐧ -3인
-12와 같아야 합니다 a ᐧ b는 4 ᐧ -3인
-12와 같아야 합니다 a + b는 11이
되어야 합니다 생각나는 것 중 최고는 일단 음수 부호가 있으니
서로 부호가 달라야 합니다 일단 음수 부호가 있으니
서로 부호가 달라야 합니다 +12와 -1이 가능합니다 +12와 -1이 가능합니다 a가 -1이고
b가 +12인 것도 됩니다 a가 -1이고
b가 +12인 것도 됩니다 그러면 여기
차수가 1인 항 11x를 그러면 여기
차수가 1인 항 11x를 12x와 -1x로 분리합니다 해보죠 지금은 이 부분에
집중해 보고 나중에 다 합치겠습니다 나중에 다 합치겠습니다 이것 모두를 다시 쓰면
4x²에 11x 대신에 파란색을 사용해
12x로 분리합니다 파란색을 사용해
12x로 분리합니다 12x와 -1x이죠 둘을 합치면 11x입니다 그리고 -3도 있죠 그러면 이 두 개는 어떻게 인수분해 되나요? 4x를 밖으로 뺄 수 있습니다 그러면 이 두 개를
다시 쓰면 이것들이 익숙하지 않다면 칸아카데미에 있는
이차식의 인수분해를 확인하세요 4x를 밖으로 빼면 여기는 x가 남고 여기는 3이 남습니다 그리고 이 항 두개는 -1을 밖으로 빼서
-1을 여기에 쓰면 x + 3이 남습니다 이제 x + 3를 빼낼 수 있습니다 그렇게 해보죠 색이 모자르네요 x + 3를 빼내면 (x + 3)(4x -1)이 됩니다 (x + 3)(4x -1)이 됩니다 (x + 3)(4x -1)이 됩니다 (x + 3)(4x -1)이 됩니다 답이 아주 다채롭습니다 다 했습니다 두 번째 부분을
이 인수들로 인수분해 했습니다 그러면 다 붙여봅시다 p(x)를 일차식인
인수의 곱으로 다시 쓰면 p(x) = (x +2)(x + 3)(4x -1)입니다 p(x) = (x +2)(x + 3)(4x -1)입니다 p(x) = (x +2)(x + 3)(4x -1)입니다 끝났습니다