다항식이란?

다항식의 개념에 대해 알아봅시다 굉장히 어려운 단어처럼 보이지만 다항식의 예제를 통해 다항식을 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요 다항식을 뜻하는 Polynomial에서 Poly는 그리스어로 많다는 것을 뜻합니다 많다는 것을 뜻하는 영어 단어에서 Poly라는 단어를 많이 봤을 거예요 nomial은 nomen이라는 라틴어에서 파생되었으며 이름이라는 의미입니다 그러므로 Polynomial은 많은 이름이라고 볼 수 있겠죠 하지만 수학에서는 많은 항을 의미합니다 그렇다면 항이란 무엇일까요? 무엇이 다항식이고 무엇이 다항식이 아닌지 예를 들어 보겠습니다 그리고 이에 관한 규칙을 적어 볼게요 다항식을 먼저 예로 들어 봅시다 첫째항은 10 곱하기 x의 7제곱 둘째항은 -9 곱하기 x의 제곱 셋째항은 15 곱하기 x의 3제곱 넷째항은 9입니다 이는 다항식입니다 다항식의 예를 하나 더 들어 볼게요 첫째항은 9 곱하기 a의 제곱이고 둘째항은 - 5입니다 또는 6과 같이 숫자 하나만 있어도 다항식이라고 할 수 있어요 첫째항은 7 곱하기 y의 제곱이고 둘째항은 -3 곱하기 y 셋째항은 π인 식도 다항식이라고 할 수 있죠 이 식들은 모두 다항식의 예입니다 그렇다면 다항식이 아닌 것은 무엇일까요? 10 곱하기 x의 7제곱 대신 10 곱하기 x의 -7제곱이 있다고 해 봅시다 첫째항은 10 곱하기 x의 -7제곱이고 둘째항은 -9 곱하기 x의 제곱 셋째항은 15 곱하기 x의 3제곱 넷째항은 9입니다 이 식은 다항식이 아닙니다 여기서 다항식의 규칙을 알아챘을 지도 모르겠네요 다항식은 각항의 변수에 음수가 아닌 수가 제곱되어야 합니다 용어를 이용해서 설명해 볼게요 다항식은 여러 항들의 합으로 이루어져 있습니다 예를 들어 첫 번째 다항식을 봅시다 첫째항은 10 곱하기 x의 7제곱이고 둘째항은 -9 곱하기 x의 제곱입니다 셋째항은 15 곱하기 x의 3제곱이고 넷째항은 9입니다 이들은 모두 항입니다 이 식은 항이 4개인 다항식이에요 오른쪽에 있는 빨간색 다항식도 항이 4개죠 다항식이라는 것을 확실하게 해주기 위해 규칙을 좀 더 알아볼게요 각 항은 계수로 이루어져 있어요 이 수들은 거듭제곱된 변수에 곱해진 수입니다 첫째항의 계수는 10입니다 위에 계수라고 적어 볼게요 이 수는 x의 7제곱에 곱해져있는 수입니다 첫째항의 계수는 10이에요 둘째항의 계수는 -9입니다 계수들을 살펴보고 있습니다 셋째항의 계수는 15입니다 넷째항도 계수라고 생각할 수 있어요 넷째항은 그냥 9로만 이루어져 있지만 이를 9 곱하기 x의 0제곱으로 다시 쓸 수 있어요 그러면 계수라는 것을 좀 더 확실하게 알 수 있죠 일반적으로 다항식은 여러 항의 합으로 나타나며 각 항에는 계수가 있습니다 계수를 A라고 해 볼게요 계수에 곱해진 변수는 음이 아닌 정수만큼 거듭제곱 됩니다 따라서, 여기 있는 수가 계수입니다 이 수는 양수나 음수가 될 수도 있고 어떤 실수가 와도 상관 없습니다 옆에는 변수가 있죠 그리고 지수는 음수가 아닌 정수가 되어야 합니다 빨간색 식이 다항식이 아닌 이유는 첫째항의 지수가 음수이기 때문입니다 다항식이 아닌 예를 하나 더 들어 볼게요 왼쪽의 두 번째 다항식의 첫째항은 9 곱하기 a의 제곱이었지만 이번에는 첫째항이 9 곱하기 a의 1/2제곱이고 둘째항이 -5인 식을 살펴봅시다 이 식은 다항식이 아닙니다 첫째항의 지수가 정수가 아니기 때문이죠 1/2입니다 이는 9√a - 5와 같습니다 이 식 역시 다항식이 아닙니다 첫째항이 9 곱하기 a의 a제곱이고 둘째항이 -5인 식도 다항식이 아닙니다 여기 있는 지수가 변수이기 때문이죠 여기 있는 모든 예들은 다항식이 아닙니다 용어를 몇 개 더 알아봅시다 다항식은 왼쪽에 있는 식들 중 하나이며 항의 개수가 유한합니다 각 항의 형태는 이와 같습니다 항이 한 개일 때와 두 개일 때, 세 개일 때는 뭐라고 부를까요? 항이 한 개일 때는 단항식이라고 합니다 이는 단항식의 예입니다 이 식을 6 곱하기 x의 0제곱이라고 쓸 수 있어요 단항식의 예를 하나 더 들어 보자면 10 곱하기 z의 15제곱이 있습니다 이 식도 단항식이죠 계수가 π일 경우도 있어요 π 곱하기 b의 5제곱 이 식들은 모두 단항식입니다 이항식은 무엇일까요? 이항식은 항이 두 개 있는 식입니다 단항식은 항이 한 개 있는 식이고 이항식은 항이 두 개 있는 식이에요 이 식이 이항식이겠죠 항이 두 개 있습니다 단항식과 이항식은 다항식에 포함됩니다 이항식은 항이 두 개인 다항식이죠 이항식의 예를 하나 더 들어 볼게요 첫째항은 3 곱하기 y의 3제곱이고 둘째항은 5 곱하기 y입니다 역시 항이 두 개이며 A 곱하기 x의 n제곱 꼴입니다 이제 삼항식에 대해서 알아봅시다 삼항식은 항이 세 개인 식입니다 이 식이 삼항식의 예입니다 첫째항은 7 곱하기 y의 제곱이고 둘째항은 -3 곱하기 y이고 셋째항은 π입니다 이제 다항식의 차수에 대해 알아봅시다 다항식의 차수란 무엇일까요? 또는 다항식에 주어진 항의 차수는 무엇일까요? 먼저 주어진 항의 차수를 살펴봅시다 첫 번째 다항식을 살펴봅시다 첫째항이 10 곱하기 x의 7제곱이죠 차수는 변수의 지수를 말합니다 따라서 첫째항은 7차항입니다 둘째항은 2차항이겠죠 셋째항은 3차항입니다 그리고 넷째항 9는 상수항입니다 이를 상수항이라고 하기도 하지만 0차항이라고 하기도 합니다 다항식 전체의 차수는 무엇일까요? 다항식 전체의 차수를 구하려면 가장 차수가 높은 항을 찾아야 합니다 차수가 가장 높은 항의 차수가 다항식 전체의 차수가 됩니다 첫 번째 다항식은 7차다항식이죠 두 번째 다항식은 2차다항식입니다 2차항이 가장 차수가 높은 항이기 때문이죠 이 다항식은 3차다항식입니다 차수가 3차인 이항식이라고 할 수도 있죠 가장 높은 항의 차수가 3차이기 때문입니다 만약 5 곱하기 y의 7제곱인 항이 있었다면 차수가 7차인 이항식이 됐겠죠 이 식은 15차인 단항식입니다 그리고 이 식은 차수가 2차인 삼항식이죠 이번에는 최고차항과 최고차항의 계수에 대해 알아봅시다 최고차라는 말의 의미는 첫 번째 항 또는 첫 번째 항의 계수를 의미합니다 최고차항은 첫 번째 항을 의미하고 최고차항의 계수는 첫 번째 항의 계수를 의미해요 이것은 미지수가 2개인 일차방정식 ax + by = c 꼴로 나타낸 다항식과 관련있습니다 이것은 미지수가 2개인 일차방정식 ax + by = c 꼴로 나타낸 일차함수 식은 높은 차수 부터 낮은 차수 순서대로 쓰여 있습니다 예를 들면 여기 있는 첫 번째 다항식은 이 형태가 아닙니다 차수가 높은 항 다음에는 그 다음으로 차수가 높은 항인 x의 3제곱 항이 와야 하는데 x의 제곱항이 먼저 왔죠? 그러므로 이 식은 차수가 순서대로 쓰이지 않았습니다 높은 차수부터 낮은 차수 순서대로 식을 써 보면 가장 차수가 높은 항은 7차항이므로 10 곱하기 x의 7제곱을 먼저 써 줍니다 그 다음 차수가 높은 항은 3차항이므로 그 다음에 15 곱하기 x의 3제곱을 써 줍니다 그 다음 차수가 높은 항은 2차항이죠 뒤에 9 곱하기 x의 제곱을 써 줍니다 가장 차수가 낮은 항은 9 또는 9 곱하기 x의 0제곱이죠 이렇게 식의 차수를 내림차순으로 써 보았어요 이제 최고차항이 10 곱하기 x의 7제곱이라는 것을 알겠죠? 그리고 최고차항의 계수는 10입니다 지금까지 다항식에 관한 많은 개념을 배웠습니다 앞으로 수학을 배울 때 유용하게 쓰였으면 좋겠네요