다항식의 평균 변화율의 부호

h(x)라는 함수가 주어졌습니다 그리고 어떤 구간에서 이 함수의 평균 변화량이 양의 값을 가지나요? 이제 영상을 멈추고 풀어보세요 같이 풀기 전에요 좋습니다 이제 같이 풀어보죠 그전에 먼저 평균 변화량이 무엇인지 복습을 해봅시다 이는 함수 값의 변화라고 볼 수 있습니다 주어진 변수의 변화량에 대해 말이죠 x의 변화량에 대해 말이죠 이는 구간을 알고 싶다면 구간을 구하고 싶다면 x의 오른쪽 끝값 빼기 x의 왼쪽 끝 값이며 분자에는 x가 오른쪽 끝 값일 때의 함수의 값 빼기 왼쪽 끝 값일 때의 함수의 값입니다 문제에서 요구하는 것은 이 모든 구간의 값을 계산하라는 것이 아닙니다 양수인지 음수인지만 구하면 됩니다 여기를 보면 x의 마지막 값이 처음 값보다 크다면 양의 평균 변화율을 가지기 위해선 h의 값이 마지막 x 값일 때가 처음 x 값일 때보다 크면 됩니다 구간의 오른쪽 끝 값의 함수값이 왼쪽 끝 갑의 함수값보다 크다면 평균 변화량은 양수입니다 이와 같은 결과가 보기 중에서 있는지 살펴봅시다 h(0)의 값을 봅시다 이는 0과 같습니다 1/8 곱하기 0 빼기 0이죠 h(2)는 1/8 곱하기 2의 3제곱 2의 3제곱은 8입니다 1/8 곱하기 8은 1이고 빼기 4를 하면 됩니다 따라서 결과는 -3입니다 따라서 이 보기는 구간의 오른쪽이 더 큰 경우가 아니겠죠 따라서 평균 변화율은 음수입니다 이 보기는 제거하죠 이를 시각화하기 위해 Desmos에서 이 함수의 그래프를 그렸습니다 그리고 이 그래프에서 x가 0부터 2일 때는 평균 변화율이 음수인 것이 보입니다 x가 0일 때 그래프는 이곳에 위치하고 x가 2일 때 이곳에 위치합니다 x가 2일 때 그래프의 값이 더 낮다는 것을 알 수 있습니다 또 평균 변화율은 이 두 점을 잇는 선분의 기울기라는 것을 알 수 있습니다 기울기가 음수라는 것이 보이죠 따라서 이 두 점 사이의 평균 변화율은 음수입니다 이 두 점 사이는 어떤가요? h(0)는 이미 0이라는 것을 알죠 h(8)은 얼마인가요? 이는 1/8 곱하기 8의 3제곱 8의 3제곱 나누기 8이기 때문에 이는 8의 제곱과 동일합니다 따라서 이는 64입니다 빼기 8의 제곱은 64이기 때문에 0입니다 따라서 평균 변화율은 0입니다 분모가 0이기 때문이죠 이 보기도 지웁시다 여기서 볼 수 있습니다 x가 0이면 함수의 값이 여기에 위치하고 x가 8일 경우 함수가 여기에 위치합니다 그리고 두 점을 잇는 선분의 기울기가 0이라는 것이 보입니다 따라서 이 두 점 사이의 평균 변화율이 0입니다 보기 C는 어떤가요? h(6)의 값은 h(6)의 값은 1/8 곱하기 6의 3제곱 6의 3제곱은 180이죠 더하기 36이기 때문에 216이 됩니다 216 빼기 36은 216은 6 곱하기 6 곱하기 6이죠 그리고 이를 8로 나누면 이는 36과 36의 6/8이 되죠 따라서 이는 3/4 곱하기 36 빼기 36입니다 이는 -9가 되겠죠 계산기를 사용해 계산을 하거나 긴 나눗셈을 할 수 있습니다 제가 한 계산이 이해가 되었길 바랍니다 조금의 계산이죠 h(6)의 값이 -9이고 그리고 h(8)입니다 선분을 여기에 그려 지저분하지 않게 하겠습니다 h(8)은 0입니다 따라서 구간의 끝의 함수값이 구간의 처음의 함수값보다 더 큽니다 따라서 양의 평균 변화율이 나오죠 이 보기를 고릅시다 시각화해서 봅시다 x가 6일 경우인 h(6)은 함수값이 -9입니다 그리고 x가 8일 때 함수의 값이 0입니다 따라서 두 점을 잇는 선분은 양의 기울기를 가지고 있습니다 따라서 이 구간 안에서는 양의 평균 변화율을 가집니다 이를 직접 계산한다면 할 수 있겠지만 여기에 있는 이것을 살펴봅시다 h(0)과 비교를 해보면 0이라는 것을 이미 알죠 h(6)은 이미 -9라는 것을 알고요 따라서 이는 음의 평균 변화율을 가집니다 구간의 오른쪽 끝에서 값은 왼쪽 끝의 값보다 크기 때문입니다 이 보기를 지웁니다 여기서 볼 수 있듯이 x가 0에서 6까지를 함수에 그린다면 이와 같이 보입니다 이와 같이 보입니다 선분의 기울기가 음수죠 따라서 평균 변화율이 음수입니다