다항식의 평균 변화율을 구하기

문제가 구하라는 것은 함수 f의 평균 변화율입니다 함수 f는 여기 있죠 이는 범위 내에 함수의 정의를 나타냅니다 -2에서 3까지의 범위이며 폐구간입니다 소괄호 대신에 대괄호를 사용했기 때문이죠 이는 두 끝의 수를 범위가 포함한다는 것입니다 영상을 멈추고 어떻게 풀지 생각해보세요 좋습니다 이제 같이 풀어봅시다 함수의 평균 변화량을 구하는 몇 가지 방법이 있습니다 한 가지 방법으로는 함수의 값의 변화량 나누기 x의 변화량입니다 혹은 x의 변화에 따른 y의 변화량의 평균이죠 따라서 이는 함수의 값의 변화량 나누기 x의 변화량이라고 할 수 있습니다 f(x)의 값이 y라면 이를 y의 변화량 나누기 x의 변화량으로 나타낼 수 있죠 평균적으로 x의 값이 변할 때마다 함수의 값이 얼마만큼 변하나요? 표를 이용해 봅시다 혹은 시각화 해봅시다 먼저 표를 이용하고 그림을 이용해 시각화를 해보겠습니다 x가 여기에 있고 y의 값이 f(x)가 여기에 있다면 x가 -2일 때 y의 값은 얼마일까요 혹은 f(-2)의 값은 얼마일까요? 한번 봅시다 f(-2)의 값은 얼마인가요? -2의 세 제곱값인 -8 빼기 빼기 4 곱하기 -2 이는 -8이 되겠죠 따라서 더하기 8이 됩니다 결과는 0이네요 x가 3일 경우는 구간의 오른쪽 끝 값을 구합시다 y는 f(3)이며 27입니다 3의 3제곱 값이죠 빼기 4x3 = 12입니다 결과는 15가 되죠 따라서 y의 변화량은 얼마인가요? 이 구간에서 x의 변화량에 따른 y의 변화량이죠 y는 0에서 15로 증가했습니다 따라서 y는 15만큼 증가했죠 x의 변화량은 얼마인가요? -2에서 3까지 갔기 때문에 5만큼 변화했습니다 따라서 x의 변화량은 5입니다 따라서 x 에 대한 y의 평균 변화량은 혹은 함수의 x에 대한 구간 안에서의 평균 변화량은 3이 됩니다 이를 시각적으로 생각하면 그림을 그릴 수 있습니다 x 축과 y 축을 그리고 함수는 다음과 같이 생기겠죠 x 가 -2일 때 f(x)는 0입니다 그리고 위로 올라가서 다시 내려옵니다 그리고 다음과 같이 행동합니다 이렇게 말이죠 이전은 이렇게 이어지고요 저희가 관심이 있는 구간은 -2부터 3이며 여기부터 여기입니다 x가 -2 부터 3인 경우죠 따라서 구간의 왼쪽 끝일 때 값은 0이고 이 점을 나타냅니다 여기죠 새로운 색을 사용하겠습니다 이 점에서 말이죠 그리고 오른쪽 끝의 점은 f(3) = 15입니다 따라서 이쯤 됩니다 곡선을 연결해봅시다 이 끝까지 말이죠 따라서 해당 구간에서의 평균 변화량은 이 두 점을 잇는 직선의 기울기입니다 두 점을 잇는 직선은 다음과 같습니다 y의 변화량을 구합시다 y의 변화량을 구합시다 함수의 값이 15만큼 증가했습니다 15 나누기 x의 변화량인 여기서 x의 변화량이 보입니다 -2에서 3이죠 이는 5입니다 이제 끝났습니다 이게 함수의 평균 변화량입니다