다항식의 뺄셈 & 폐집합

6x² + 3x - 9에서 -2x² + 4x - 1을 빼 봅시다 동영상을 잠시 멈추고 한번 풀어 보세요 같이 풀어 봅시다 식을 다시 쓰면 6x² + 3x - 9 - (-2x² + 4x - 1)이죠 음의 부호를 괄호 안에 분배해 봅시다 6x² + 3x - 9는 그대로 써주고 음의 부호를 분배해주면 -2x²은 2x²이 되므로 6x² + 3x - 9 + 2x² 4x는 -4x가 되므로 6x² + 3x - 9 + 2x² - 4x -1은 1이 되므로 6x² + 3x - 9 + 2x² - 4x + 1이 됩니다 이렇게 음의 부호를 분배해주었습니다 이제 차수가 같은 항끼리 묶어 봅시다 x²항은 6x²과 2x²이 있죠 6x²과 2x²를 더하면 어떻게 될까요? 6x² + 2x² = 8x²이 됩니다 6x²과 2x²의 계수 6과 2를 더하면 8이 되므로 8x²이 되는 것이죠 x항은 무엇이 있을까요? 3x와 -4x가 있죠 3x - 4x = -1x가 됩니다 3x와 -4x의 계수끼리 빼준 것이죠 그러므로 8x² - 1x가 됩니다 이때 -1x는 그냥 -x로 써도 같은 식이 됩니다 마지막으로 상수항을 계산해 봅시다 상수항은 -9와 1이 있네요 -9 + 1 = -8이 됩니다 따라서 답은 8x² - x - 8이 됩니다 여기서 알 수 있는 것은 하나의 다항식에서 다른 다항식을 뺐을 때 다항식을 구할 수 있다는 것입니다 이 사실은 항상 성립합니다 모든 다항식을 포함하는 집합이 있다고 합시다 여기 집합을 그려 볼게요 분홍색 다항식을 여기에 표시해 볼게요 이를 p(x)라고 합시다 이 다항식을 p(x)라고 해 봅시다 그리고 다른 다항식을 여기에 표시하고 이 다항식을 q(x)라고 해 봅시다 q(x)는 여기에 써 볼게요 여기에 뺄셈 연산을 적용해 봅시다 다항식 p(x)와 q(x)가 있을 때 q(x)를 p(x)에서 빼줘도 다항식이 나옵니다 이 결과도 다항식의 집합에 속합니다 어떤 집합을 선택하든 이 사실이 성립합니다 정수 집합 또는 자연수 집합에서도 성립하죠 여기서는 다항식 집합에 대해서 설명하고 있습니다 다항식 집합에 속하는 다항식 2개가 있다고 합시다 이 집합에 다항식이라고 써 볼게요 집합에 속하는 2개의 다항식을 임의로 선택해 뺄셈을 하여도 그 결과 역시 다항식에 속합니다 이 경우를 뭐라고 할까요? 이 식을 f(x)라고 합시다 결과에도 f(x)라고 써줄게요 어떤 집합에 속하는 2가지 수를 임의로 선택해서 연산을 적용했을 때 그 결과 역시 그 집합에 속하게 됩니다 이때 집합은 그 연산에 대한 폐집합이라고 합니다 따라서 다항식 집합은 뺄셈 연산에 대헌 폐집합입니다 증명할 필요없이 2개의 다항식의 뺄셈 예제를 통해 알아보았습니다 더 확실하게 증명할 수도 있지만 사례를 통해 확인했죠 2개의 다항식을 뺐더니 결과 역시 다항식이 되었습니다 이는 다항식의 집합이 뺄셈에 대해 폐집합이 된다고 할 수 있어요 이때 폐집합의 의미는 생각해 보면 간단한 것입니다 집합에서 2가지를 선택해 연산을 적용했을 때 그 결과가 여전히 집합에 속해있다면 그 집합은 그 연산에 대한 폐집합이라고 할 수 있습니다