단항식의 곱셈 (중등2학년)

이번 강의에서는 단항식의 곱셈에 대해 배워 봅시다 단항식의 예를 들어 볼까요? 4x^2(4x², ^는 제곱을 뜻합니다)은 단항식입니다 왜 그럴까요? 단항식의 단은 항의 개수가 한 개라는 것을 의미합니다 4x^2는 항이 한 개죠 더 자세히 알아볼까요? 단항식이 아닌 경우를 살펴봅시다 4x^2 + 5x의 항은 몇 개일까요? 4x^2는 첫 번째 항이고 5x는 두 번째 항입니다 그러므로 이것은 단항식이 아니라 이항식이라고 합니다 이항식(binomial)의 이(bi)는 2를 의미합니다 이항식은 다음 강의에서 배울 수 있습니다 여기서는 단항식의 곱셈에 대해 배울 거예요 예시를 들어 봅시다 강의를 다 들으면 단항식의 곱셈이 쉬워질 거예요 5x^2과 4x^6을 곱해 볼까요? 여기에 답을 써 볼게요 그리고 다른 예제도 같이 살펴봅시다 이 곱셈의 답은 20x^8입니다 식을 보면 규칙이 보일 거예요 5와 4를 어떻게 했더니 20이 나왔을까요? 그리고 2와 6을 어떻게 했더니 8이 되었을까요? 먼저 지수법칙에 대해 알아봅시다 특정한 지수법칙인데 예전에 본 적 있을 거예요 5^2 x 5^4을 계산하면 어떻게 될까요? 지수법칙에 따르면 지수를 더해주어야 합니다 그러므로 5^2 x 5^4 = 5^6이 되는 것이죠 그렇다면 3^4 x 3^5을 계산하면 무엇일까요? 역시 지수를 더해주어야겠죠 4와 5를 더하면 9이므로 3^9가 됩니다 밑은 바뀌지 않습니다 이제 새로운 단항식의 곱셈을 배워 볼까요? 이번에는 변수가 포함된 단항식을 계산해볼 거예요 먼저 여기 두 단항식이 있습니다 첫 번째 단항식은 4x이고 두 번째 단항식은 x입니다 4는 곱해줄 것이 없으므로 그냥 4를 씁니다 x 곱하기 x를 간단히 할 수 있을까요? 간단히 하면 x^2이 됩니다 변수가 있는데 지수가 써있지 않다면 지수가 1인 것과 같습니다 따라서 x^1 곱하기 x^1이므로 지수를 더하면 1 + 1 = 2가 됩니다 이번엔 다른 문제를 풀어 볼까요? 4t x 3t를 계산해 봅시다 계수끼리 곱해주면 4 x 3 = 12입니다 t 곱하기 t는 지수가 1인 것과 같으므로 t^2이 됩니다 따라서 정답은 12t^2입니다 다른 문제로 넘어갑시다 4p^5 x 5p^3을 계산하면 어떻게 될까요? 여기서도 규칙이 보일 거예요 항상 계수는 계수끼리 곱합니다 그러므로 4 x 5 = 20이 되는 것이죠 그리고 지수는 항상 더해줍니다 그러므로 p^5 x p^3 = p^8이 되는 것이죠 따라서 4와 5를 곱해 20이 나왔고 5와 3을 더해 p의 지수가 8이 되었습니다 왜 이렇게 되는지 알아보기 위해 첫 번째 항 4p^5을 쪼개 봅시다 4p^5를 쪼개면 4 x p x p x p x p x p 4와 다섯 개의 p가 됩니다 두 번째 항을 쪼개면 5 x p x p x p로 쓸 수 있어요 먼저 숫자들을 묶어 줄게요 앞쪽에 4 x 5를 써줍니다 이제 p가 몇 개 있는지만 알면 됩니다 p끼리 묶어 볼까요? 먼저 여기 다섯 개의 p가 있고 세 개의 p가 더 있습니다 엄청나게 긴 식을 간단히 하기 위해 먼저 4와 5를 곱해서 20을 만들어주고 p를 지수와 함께 써 줍니다 이 식을 간단히 하면 20p^8입니다 아까 처음에 구했던 답과 같네요 다음 문제를 봅시다 5y^6(-3y^8)을 계산하면 어떻게 될까요? 계수끼리 곱하고 지수끼리 더하면 -15y^14가 됩니다 식을 간단히 만들었어요 조금 더 어려운 문제를 풀어 볼까요? -9x^5(-3x^107)을 계산해 봅시다 음수가 있으니 괄호를 써준 거예요 강의를 시작했을 때 이 식을 보여줬다면 어떻게 풀어야 할지 막막했을 거예요 하지만 이제는 법칙을 적용해서 간단하게 풀 수 있죠 먼저 계수끼리 곱해줍니다 (-9) x (-3) = 27이죠 음수와 음수가 만나 양수가 되었습니다 이제 지수끼리 더해줍니다 5 + 107을 계산해 봅시다 잘못썼네요 다시 써 볼게요 5 + 107 = 112죠 이렇게 복잡한 두 단항식의 곱셈이라도 간단히 하면 하나의 단항식이 됩니다 간단히 했더니 27x^112이 되었죠 이제 다음 문제로 넘어가 봅시다 식을 하나 써 볼게요 어떤 변수를 이용하는게 좋을까요? 항상 변수를 다양하게 사용하려고 노력하고 있어요 5가 이상하게 써졌네요 다시 써 볼게요 식 5x^3 x 4x^6이 있습니다 이 문제를 학생들에게 풀어보라고 했더니 틀린 답을 적어냈습니다 학생들은 답을 9x^18이라고 했어요 틀린 답이죠 어디가 잘못됐을까요? 한번 생각해 보세요 5와 4를 어떻게 계산했더니 9가 됐을까요? 3과 6을 어떻게 계산했더니 18이 됐을까요? 지금까지 단항식의 곱셈에 대해 알아보았습니다