공식 변형하기: 둘레

(시작) 어떤 직사각형의 둘레를 구하는 식이 P=2l+2w라는 것이 주어졌습니다 여기서 P는 둘레, l은 세로길이, w는 가로길이를 나타내구요 문제를 그림으로 표현해보기 위해서 이미 익숙하실 수도 있을텐데, 직사각형을 직접 하나 그려볼게요 직사각형이네요 이 쪽 세로길이가 l이면 이 쪽 세로길이 또한 l이겠죠 그리고 이 쪽 가로길이가 w라면, 이 쪽의 가로길이도 w가 되죠 둘레라는 것은, 쉽게 말해 이 직사각형의 바깥을 따라 쭉 돌았을때의 거리입니다 즉, 그 거리는 w 더하기 l 더하기 가로길이 w, 더하기 세로길이 l이 돼요 그렇게 w 하나를 또다른 w 하나에 더하면 w가 두 개가 되네요 2w가 되겠구요 그리고 l 하나에 또다른 l 하나를 더하면 두 개를 합했을 때 2l이 나옵니다 그래서 둘레는 2w 더하기 2l가 되죠 문제에서는 단지 제가 쓴 것과 순서만 다르게 쓴 겁니다 순서가 달라도 결국은 같은 것이니, 말이 될 거예요 이제 해야 할 일은, 이 식이 w에 대한 식이 되도록 고쳐서 쓰는 것입니다 지금 쓰여진 식을 보면 P가 무엇과 같은지 나타내는 식이지만 문제가 요구하는 것은 바로 l과 P, 그리고 몇 개의 숫자들을 이용해서 w가 무엇과 같은지 나타내는 식을 쓰는 거죠 어떻게 할 수 있을 지 생각해 봅시다 P가 2 곱하기 l 더하기 2 곱하기 w와 같다는 것을 알려주었구요 우리는 지금 w에 대한 식으로 나타내고 싶은 겁니다 시작하는 방법으로는 이 쪽 변에 있는 l을 없애는 방법이 있어요 그리고 그 변에 있는 l을 없애려면 양변에서 2l을 빼면 되겠죠 이렇게 해 봅시다 이 쪽 변에서 2l을 뺍니다 2l을 빼구요 좌변에도 똑같이 해 주어야 해요 2l을 빼야 되겠죠 양변에 똑같이 해 줍니다 그리고 기억하셔야 할 건, P는 '무엇'과 같다는 식이므로 그 무엇'에 하는 조작은 P에도 똑같이 한다는 거예요 우변에서 2l을 빼려면 좌변의 P에서도 균일하게 2l을 빼야 식이 계속 성립할 수 있어요 그렇기 때문에 좌변이 P 빼기 2l이 되구요. 우변에는 2l 빼기 2l이 생기는데 2l에서 2l을 뺀 이유는 이걸 소거하기 위해서예요 그렇게 소거를 시키면 이 쪽 2w만 남게 되죠 2w만 남게 됩니다 거의 다 되었어요 w에 대한 식이 거의 다 만들어졌어요 마무리하기 위해서, 이제 양변을 2로 나누어 주기만 하면 돼요 양변을 이렇게 2로 나누는 이유는 여기 계수 2, 즉 w에 곱해진 2를 없애기 위해서입니다 그래서 양변을 2로 나누는데요 한 쪽 변에 하는 조작은 역시 나머지 한 쪽 변에도 똑같이 해 주어야 합니다 우변을 2로 나눈 이유는 어떤 수에 2를 곱한 뒤 다시 2로 나누면 처음의 그 수가 되기 때문이에요. 그렇게 w가 나오고 그리고 또 좌변이 있어요 이렇게 끝이 났어요 이 두 변의 위치를 서로 바꾸기만 하면 w는 반대쪽 변에 있는 2분의 P 빼기 2l과 같아집니다 이게 바로 정답이에요 같은 걸 다른 방법들로도 쓸 수 있어요 이 식을 다르게 표현할 수도 있는데요 이건 완벽한 정답이기 때문에 네모를 쳐 놓을게요 이게 정답이지만, 다른 방법으로도 정답을 구할 수 있어요 다른 방법으로도 표현할 수 있죠 다른 적절한 방법이 있을 수도 있습니다 이렇게 한 번 써 볼게요 문제에서 P는 2l 더하기 2w와 같다고 했죠 여기서 양변을 2로 나누면 어떻게 될까요? 좀 더 분명하게 말하자면 여기에 2가 있고, 또 여기에 2가 있죠 분배법칙을 이용해 2를 생략하는 것도 생각해볼 수 있겠네요 그래서 P는 2 곱하기 l 더하기 w가 됩니다 이 문제를 풀기에 적합한 또 다른 방법이죠 이제 양변을 2로 나눌 수 있고 여기 우변의 2를 없앨 수 있네요 그렇게 이 식의 양변을 2로 나누면 2가 모두 없어지죠. 어떤 수를 2로 나누고 다시 2를 곱하면 원래의 수가 되기 때문이에요 우변은 좌변의 2분의 P와 같죠 여기에 다시 써 볼게요 이걸 다시 써 볼게요 그렇게 2분의 P는 l 더하기 w이 됩니다 w에 대한 식을 만들기 위해서는, 양변에서 l을 빼야 해요 어떨 때는 이렇게 줄을 나누어서 쓸 수도 있구요 그냥 이렇게 쓸 수도 있어요 '저 쪽에서 l을 하나 빼야지' 라고 한다면 한 쪽 변에 한 것은 반대쪽 변에도 해 주어야겠지요 -l을 더하는 것과도 같겠죠 그렇게 우변에는 w만 남습니다 (쉼) 이제 남은 좌변에는 -l 더하기 2분의 P, 또는 순서를 바꾸어서 2분의 P 빼기 l이 남게 됩니다 이것 또한 정답이 될 수 있죠 그럼 여러분은 이렇게 생각할 수 있어요 '잠깐만요, 솔, 두 개가 다르게 생겼는데요?' '2분의 P 빼기 2l은' '2분의 P 빼기 l과는 다르게 생겼잖아요 그렇지 않아요 이렇게 생각해 봅시다 이걸 다시 써 본다면 같은 색깔로 다시 써 볼게요. 여기 이건 2분의 P 빼기 2분의 2l과 같아요 그렇죠? 만약 a-b 가 있는데 두 항을 모두 2로 나눈다면, 2로 나눈 것을 이렇게 두 항에 모두 배치하는 걸 상상해보실 수 있겠죠 그리고 여기, 2 곱하기 2분의 l은 그냥 l과 같아요 그래서 이건 2분의 P 빼기 1과 같을텐데요 여기 있는 이것과 똑같죠