유리방정식의 활용 문제

'도미니크 피자'의 도미니크는 매일 같은 양의 피자를 굽습니다 그녀는 매일 오븐을 사용하는데 8달러를 씁니다 그리고 피자 하나를 만드는 재료값에 1.50달러를 씁니다 그러니까 매일 오븐을 사용하는데 8달러, 피자 하나를 만드는 재료값에 1.50달러를 씁니다 어느날 피자를 만드는 재료값이 올랐습니다 1.50달러에서 2달러로요 도미니크는 계산을 했고 알아냈죠 그녀가 날마다 8개의 피자를 더 구워야 한다는 것을요 그래야 피자 한판을 만드는 데 쓰이는 비용이 가격이 오르기 전과 같을 테니까요 문제에서는 피자 한 판의 총 비용을 묻는것이죠 왜냐하면 피자를 만드는 데 드는 재료값이 올랐으니까요 오븐을 쓰는 비용을 모든 피자에 그리고 오븐의 비용을 모든 피자 비용에서 나누기 위해 방정식을 만드세요 가격이 오르기 전에 도미니크가 하루에 피자를 얼마나 만들었는지 알아내려면 방정식을 만드세요 피자의 개수를 p라고 둡시다 그리고 나서 일단 가격이 오르기 전에 그녀가 피자를 만드는데 총 얼마를 썼는지 생각해 봅시다 그리고 나서 그냐가 8개의 피자를 더 굽는다면 피자를 만드는 총 비용이 얼마일지 생각해 봅시다 그 전에, 우리는 p를 도미니크가 가격이 오르기 전에 만든 피자의 갯수라고 둡시다 그러니까 가격이 오르기 전에는 도미니크는 오븐에는 8달러, 재료에는 1.50달러를 썼을거예요 피자 한 판당이요 그러니 1.5에 피자의 개수를 곱하면 그 날에 그녀가 피자에 쓴 총 금액이 됩니다 이건 오븐의 비용에다 재료의 비용을 더한 것이죠 그래서 각각의 피자에 드는 오븐과 재료의 비용을 알고싶다면 그냥 피자의 갯수로 나눠주면 됩니다 이제 가격이 오른 뒤 어떤 일이 생겼는지 생각해 봅시다 가격이 오른 뒤에도, 도미니크가 오븐을 쓰는데 사용하는 비용은 여전히 8달러입니다 하지만 재료에는 2 달러를 써야하죠 피자 한판당 2달러가 드는것이죠 도미니크가p개의 피자를 만든다고 하지말고 매일 8개의 피자를 더 만든다고 합시다 그러면 p더하기8 이 되네요 그리고 이 식은 그녀가 현재 굽는 피자의 총 액이 되겠죠 각 피자에 드는 비용을 알아내기 위해서는 그녀는 현재 (p+8)개의 피자를 만드니까 (P+8)로 나눌 수 있죠 그리고 문제에서 알 수 있듯이 이 두개는 같습니다 피자를 만드는 재료값이 더 비싸졌지만 더 많은 피자를 굽기 때문에 더 많은 피자 비용에서 오븐 비용을나누게 됩니다 이제 p의 값이 무엇일지 생각해 봅시다 이 두 식이 같아지기 위해서는 P가 피자의 갯수가 되어야 겠죠 도미니크가 피자를p개 만들때의 피자의 총 비용은 그녀가 p+8 개늬 피자를 만들때의 가격과 같을것입니다 그러니 이 두개는 같아야 하죠 우리는 문제에서 제시한 첫번째 부분을 해결했습니다 도미니크가 가격이 오르기 전 날마다 몇개늬 피자를 구웠는지 알아내기 위해 방정식을 세웠습니다 그리거 피자의 갯수를 표시하기위해 p를 사용했죠 이제 p를 알아내 봅시다 식을 좀 더 간단하게 만듭시다 여기 이 부분을 그냥 이걸 교차로 곱합시다 아니면 각 항에 (p+8)을 곱하고 또 각 항에 p를 곱할 수도 있죠 이 항에 (p+8)p를 곱하고 이 항에도 (p+8)p를 곱하면 이건 이거랑 약분되네요 이거랑 이것도 약분되고요 왼쪽 항을 봅시다 여기서는 분배법칙을 사용할 수 있겠네요 P곱하기 p+8이 뭐죠? 8p죠 먼저 p에다가 이걸 곱하겠습니다 더하기 1.5 제곱이네요 이제 8을 각 항에 곱합시다 +64+(8×1.5)이건 12+12p 이건 뭐랑 같을까요? 곱해봅시다 이 식에다 p를 곱합시다 8곱하기 p는 8p, 봅시다, 이 식을 분배할수 있겠네요 그리고 p를 곱하죠 2곱하기p 는 2p,여기에p를 곱하면 2p제곱이니까 더하기 2p제곱 2곱하기8은 16이고 16에 p를 곱하면 16p죠 이제 이차방정식이 됬네요 인수분해하거나 근의 공식을 쓸 수 있게 더 간단하게 만들어봅시다 양 변에거 1.5제곱응 뺍시다 1.5제곱을 빼면... 직관적으로 보기위해 우변을 좌변으로 이항합시다 양변애거 2p제곱을 빼고 양변애서 16p를 뺍시다 그러면 8p와 12p가 남고 또 양변에서 16p를 뺍시다 그리고 양변에서 8p도 뺍시다 16p와 8p가 있으니 잘 풀리겠네요 이제 양변에서 8p를 뺐고 16p도 뺐습니다 우리는 양변에서 뺄 건 다 뺐어요 그러니까 이제 뭐가 남았나요? 차수 순서대로 계산하겠습니다 1.5제곱 -2p제곱은 마이너스0.5제곱이죠 봅시다, 이건 없어지고 12p빼기 16p는 마이너스 4p죠 그리고 +64 이 식이 0과 같습니다 이걸 좀더 간단하게, 그러니까 더 깔끔하게 만들기 위해 양변에 마이너스2를 곱합시다 이차항의 계수가 1이 되게요 그러면p제곱 더하기 8p죠 이것은, 어디보자, 64× -2니까 -128..이 0과 같네요 이걸 인수분해 할 수 있는지 봅시다 곱해서 -128이 되는 수가 무엇이 있나요? 또한 그 수를 더하면 8이 되어야 해요 그러니 그 두 수는 다른 부호를 가질겁니다 12 곱하기... 무슨 숫자가 들어갈 수 있을까요? 128이 어떤 두 수의 곱과 같을 지 생각래 봅시다 어디보자, 16은 128의 약수죠 계산해봅시다 16이 128에 8번 들어가나요? 8×6=48, 8×10=80, +40은 128이죠 네,8번 곱하네요 16과 8인 것 같네요 그러니 16,-8, 이걸 곱하면 -128일거예요 우린 이걸 (p+16)(p-8)=0이라고 할 수 있죠 이 둘중애 하나만 0이 되면 이 식이 0이 될 거예요 두 가지 방법이 있습니다 (P+16)=0이거나 P-8=0이겠죠 여기 양변에서 16을 빼주세요 P와-16이 같은 걸 알 수 있죠 양변에 8을 더하면 p가 8이라는 걸 알 수 있죠 이제 만들어진 피자의 수를 구합시다 이 방법은 적합하지 않네요 이건 도미니크가 피자를 만드는게 아니라 16개의 피자를 먹는 것과 같은거죠 피자를 만들지 않고 피자를 하루에 16개씩 없애는 것과 같죠 이 방법은 필요하지 않아요 그러니까 우리가 본래 질문의 답을 알고 싶다면, 가격이 오르기 전에 하루에 도미니카가 만든 피자의 수는 8개 입니다 그래서 여기의 p는 8과 같아야 합니다 그러니까 가격이 오르기 전에는, 도미니카는 하루에 8개의 피자를 만들었죠 그리고 가격이 오른 후에는, 하루에 8개의 피자를 더 만든 것이죠 그러니까 하루에 16개의 피자를 만든 것입니다