지수방정식 활용 문제

리암이 저축 예금 계좌를 열고 6,250 달러를 입금했어요 매년, 계좌에 있는 금액이 20%씩 증가합니다 계좌 금액이 12,960달러에 이르려면 몇년이 걸릴까요? 이 상황에 맞는 방정식을 만드세요 단, Liam이 목표액에 도달하기 위해 걸린 연수를 나타내기 위한 변수로는 t를 사용하세요 먼저 이 동영상을 멈추고 혼자 생각해봤으면 좋겠네요 이 상황을 나타내는 방정식을 써보되 문제에서 말했듯 연수를 t로 잡고 해보세요 그런 후에 이 문제를 답해보죠 처음의 금액이 12960달러가 되려면 몇 년이 걸릴까요? 자, 생각해봅시다 t는 Liam이 계좌를 개설한 후 걸린 연수를 나타낸다고 했죠 그러니까 한번 Liam이 계좌를 연지 0년이 지났다고 가정합시다 그럼 금액이 얼마가 됐을까요? 처음의 6250달러가 그대로 있겠죠 그것이 처음에 가지고 시작한 금액이니까요 이번엔 그가 계좌를 개설한지 1년이 지났다고 한번 가정해보도록 하죠 그럼 얼마를 갖게 될까요? 그는 6250달러 곱하기 혹은 이렇게 나타낼까요. 원금 6250달러에 그 20%를 더한 것이 되겠죠 왜냐면 매년 처음 금액의 20%만큼 이자가 붙으니까요 즉, 이것이 그 해 처음에 가지고 있던 금액이고 그 6250이라는 금액의 20%를 그 해의 이자로 받는 거에요 6250라는 공통인수로 분해해보면, 이 식은 6250 곱하기 (1+20%)가 되고, 20%는 0.2로 나타낼 수도 있으니 이건 6250 * 1.2와도 같다고 할 수 있겠네요 그럼, 2년 후에는 얼마를 가지게 될까요? 그는 1년 후에 가지고 있던 금액에 1.2배를 한만큼 가지게 될것입니다 왜냐면 또다시 20%만큼의 이자가 더해졌으니까요 그러니까 그는 1년 후에 가지고 있던 금액에 1.2배를 한 것을 가지고 있는 것인데 이것은 6,250에 1.2배를 한 것에 또다시 1.2배를 한 것입니다 즉, 6,250에 1.2의 제곱을 곱한 것이죠 이제 어떻게 될지 좀 예상이 갈 것 같네요 아니면 이렇게도 나타낼 수 있겠죠, 사칙연산 순서상 지수가 붙어있는 수를 먼저 계산할테니까요 3년 후에는 어떻게 될까요? 3년 후에는, A2에 1.2배를 한번 더 하면 됩니다 그러면 그는 6,250에 1.2의 3제곱을 곱한만큼을 갖게 되겠죠 그러면 t년 후의 금액을 구하려면 원금에 1.2를 t번 곱해주면 되는겁니다 즉 t년 후에 그의 계좌에는, 6,250에 1.2의 t제곱만큼을 곱한 금액을 갖고 있게 되는거죠 1.2의 t승, 혹은 t제곱이나 사실상 별 차이는 없어요 어쨌든 문제에서는, 주어진 상황을 나타내는 방정식을 쓰라고 합니다 즉 우리가 구해야 할 것은 계좌에 있는 금액이 $12,960가 되려면 몇 년이 지나야 하냐는 것입니다 요컨대 우리는 언제 원금이 $12,960이 되지? 가 궁금한 것입니다 이렇게도 나타낼 수 있겠죠. 12, 960 달러와 6,250 곱하기 1.2의 t제곱이 같게 되는 것은 언제일까? 이렇게 상황을 나타내는 방정식이 구해졌네요 그렇다면 우리는 실제로 어떻게 이 방정식을 풀지 생각해봐야 하겠죠 흔히 하던 방식은, t라는 변수만 떼어놓는 것이죠 양 변을 6,250으로 나누죠 그런 후에 양 변 위치를 바꾸면 1.2의 t제곱이 12,960을 6,250으로 나눈 것과 같다는 식이 되네요 두 수가 모두 10의 배수이므로 두 수를 10으로 나누도록 하죠 그러면 1,296을 625로 나눈 수가 됩니다 이제 이 문제를 풀 방법은 여러가지가 있습니다 한 가지 방법은, 만약 답이 정수로 나온다고 확신할 수 있는 경우 그냥 계산기를 이용해서 1.2를 계속해서 곱해보면서 오른쪽 변의 수가 언제 나오는지 보는 것이죠. 그렇게 할 수도 있고, 또 곧 보게 되겠지만, 더 체계적인 방법이 있는데 그건 로그를 배우게 되면 쓸 수 있어요 끝에서는 그 방법으로 풀어보겠습니다 아직 로그를 안 배웠을 수도 있으니까 맨 마지막에 그 방법을 쓰죠 그러면 이렇게 말할 수 있겠죠 일단 과거 계산을 다 지우죠... 이제, 1,296을 625로 나누면 얼마인지 보면.. 2.0736이라는 이 값과 같네요 이제 1.2를 몇번 제곱해야 이 값이 되는지 보죠 1.2 곱하기 1,2는 이 값인데.. 2.0736가 되려면 아직 멀었네요 이번엔 1.2를 3제곱 해봅시다 1.2라는 같은 수를.. 1.2를 3제곱 하는거에요. 1.2만큼 곱하는 것을 3번 하면 되죠 1.2 곱하기 1.2 곱하기 1.2는 아직도 충분히 크지 않네요 1.2의 3제곱에 1.2를 한번 더 곱해보면 어떨까요? 정확히 2.0736이 되었네요 방금 한 것은 계산기를 써서 직접 구하는 방법이에요 직접 1.2의 4제곱까지 해봐서 이 값을 얻은 것이죠 이렇게 t는 4라는 것을 구하는 것 중에 이런 다소 마구잡이의 방식도 있어요 다른 방법은 다소 덜 직관적인데 먼저 625란 숫자를 보고 '5의 제곱수 같은데'라고 생각하는 데서 시작해요 우리가 알기로 5의 1제곱은 5이고, 5의 제곱은 25 5의 3제곱은 125, 5의 4제곱은 625거든요 그래서 여기 있는 625라는 수가 5의 4제곱이라는 걸 알아채는 거에요 이건 약간 더 어려울 수 있는데 여기 있는 1296라는 수가 6의 4제곱이라는 걸 알아채는 거에요 또 여기 이 1.2라는 수는 6/5로 나타낼 수 있으니까 이 식을 다시 써보면 6/5를 t제곱한 것과 6^4를 5^4로 나눈것이 같다는 식이 되는데 이건 6/5 전체를 4제곱 한것과 같은 값이죠 이렇게 되면, 6/5의 t제곱이 6/5의 4제곱과 같아야 하니까 t는 4여야 하는 것이죠 그런데 이 방식은 주어진 수가 어떠한 수의 4제곱과 같다는 것을 알아볼 수 있을 때 쓰면 좋은데 이건 쉽지 않죠 이게 쉽지 않으면 t가 정수라고 생각하고 1.2를 계속 제곱해보면 될텐데 t가 크지 않은 정수일 때에 가능하겠죠 하지만 이 식을 푸는 가장 체계적인 방법은 사실 로그를 사용하는 것입니다 그리고 칸아카데미에는 로그를 쓰는 방법에 대한 많은 영상들이 있으니 참고하세요 1.2를 몇 제곱 해야 이 값과 같아질지 구하려 할 때 기본적으로 쓸 수 있는 것은 바로 로그에요 이것의 증명은 다른 영상에서 다루도록 하고 1.2를 일정 수만큼 제곱해서 얻으려고 하는 그 값에 먼저 로그를 취합시다 그리고, 사실 여기서 로그의 밑은 어떤 수든 크게 상관이 없어요 보통 계산기에서는 e를 밑으로 하는 자연 로그나 10을 밑으로 하는 로그를 사용합니다 그냥 밑을 10으로 하는 로그를 사용하죠 해봅시다 먼저 우리가 1.2를 제곱해 얻으려하는 수인, 2.0736의 로그를 취하고 그 수를 얻기 위해 제곱하려고 하는 수에 로그를 취한 것으로 나눠 봅시다 즉 1.2에 로그를 취한 것으로 나누는 것이죠 증명은 하지 않도록 하고.. 나눗셈을 하려 했으니까 사이에 나누기 기호를 넣도록 하죠 다시한번 말하지만, 지금 하는 것이 못미더울 수도 있지만 다른 영상에서 증명되어 있고 이런 경우 계산기를 쓰는 것이 나을거에요 왜냐면 t라는 년수가 정수로 떨어지지 않을 수도 있거든요 그것은 3과 1/2년일 수도 있고 7.1234년일 수도 있어요 그럴 때 계산기를 쓰는 게 더 정확한 답을 구할 수 있어요 정리하면 얻으려고 목표했던 값이 뭐였죠? 2.0736을 얻으려고 했죠 제곱하려는 수가 무엇이었죠? 1.2죠 얻으려고 했던 값의 로그를 제곱하는 수, 즉 밑의 로그로 나누는 것입니다 엔터를 누르면 4라는 값이 나오는데, 이건 로그의 정의에 의하면 1.2의 4제곱이 2.0736이 된다는 것을 다르게 표현한 것과 같아요 다시 말하자면, 이것이 못 미덥고 로그가 무엇인지 잘 모르겠다면 칸 아카데미에 이것에 대한 영상이 많아요 하지만 로그 외에도 이 문제를 푸는 방법은 많아요 특히 이 경우처럼 답이 간단한 수인 경우에는요