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코스: 대수학 2 > 단원 8

단원 3: 로그의 성질

로그의 성질이란?

로그의 성질에 대해 배워보고 이를 이용해 로그방정식을 다시 쓰는 법을 배워봅시다. 예를 들어 log₂(3a)를 전개해 봅시다.


로그의 성질	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
로그의 성질	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
로그의 성질	$\log_{b} (M^{p}) = p \cdot \log_{b} (M)$ ‍

(이들은

M

N > 0

이고

0 < b \neq 1

을 만족하는 임의의

M

N

b

에 대하여 적용됩니다.)

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

로그가 무엇인지 알아야 합니다. 모른다면, 로그란?를 확인하세요.

이번 단원에서 배우는 것

로그도 지수처럼 로그식을 간단히하고 로그방정식을 푸는 데 이용되는 유용하고 수많은 성질들이 있습니다. 여기서 세 가지 성질들을 살펴봅니다.

각 로그의 성질을 살펴봅시다.

로그의 성질: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

이 성질은 곱의 로그는 그 인수들의 로그의 합과 같다는 것을 말합니다.

물론입니다!

M = 4

N = 8

그리고

b = 2

라면, 성질에 따라,

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

입니다.

아래 과정은 이 상황에서 성질이 참이라는 것을 보여줍니다!

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & ∵ 4 \cdot 8 = 32 \\ 5 & = 2 + 3 & 로그 계산하기 \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

이는 증명이 아닙니다! 대신, 이 성질이 설득력있다는 것을 확신시켜 줄 수 있고 이것이 왜 참인지에 대한 통찰력을 줄 것입니다.

로그식을 다시 나타내기 위해서 로그의 성질을 사용할 수 있습니다.

예제: 곱의 미분법을 사용하여 로그식 전개하기

목적을 달성하기 위해서, 로그 전개하기는 로그를 둘 이상의 로그의 합으로 나타내는 것을 말합니다.

\log_{6} (5 y)

를 전개해 봅시다.

로그의 진수의 두 인수는

5

와

y

입니다. 로그를 전개하기 위해서 바로 로그의 성질을 적용할 수 있습니다.

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & 로그의 성질 \end{aligned}

예제: 곱의 미분법을 사용하여 로그식 풀기

목적을 달성하기 위해서, 둘 이상의 로그의 합을 간단히 하기는 하나의 로그로 나타내는 것을 말합니다.

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

를 간단히 해 봅시다.

두 로그의 밑(

3

)이 동일하므로, 로그의 성질을 역으로 적용할 수 있습니다.

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & 로그의 성질 \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

중요 사항

로그의 성질을 이용하여 로그식을 간단히 할 때, 모든 로그의 밑은 동일해야 합니다.

예를 들어,

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

와 같은 식에는 로그의 성질을 사용할 수 없습니다.

이해했는지 확인하기

1) $\log_{2} (3 a)$ ‍를 전개하세요.

2) $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍을 간단히 하세요.

로그의 성질: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

이 성질은 나눗셈의 로그는 나뉘는 수의 로그와 나누는 수의 로그의 차이와 같다는 것을 말합니다.

물론입니다!

M = 81

N = 3

그리고

b = 3

라면, 성질에 따라,

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

입니다.

아래 과정은 이 상황에서 성질이 참이라는 것을 보여줍니다!

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & ∵ 81 \div 3 = 27 \\ 3 & = 4 - 1 & 로그 계산하기 \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

이는 증명이 아닙니다! 대신, 이 성질이 설득력있다는 것을 확신시켜 줄 수 있고 이것이 왜 참인지에 대한 통찰력을 줄 것입니다.

로그식을 다시 나타내기 위해서 로그의 성질을 사용해 봅시다.

예제: 함수의 몫의 미분법을 사용하여 로그식 전개하기

\log_{7} (\frac{a}{2})

에 로그의 성질을 바로 적용하여 두 로그의 차로 나타내면서 전개해 봅시다.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & 로그의 성질 \end{aligned}

예제: 함수의 몫의 미분법을 사용하여 로그식 풀기

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

를 간단히 해 봅시다.

두 로그의 밑(

4

)이 동일하므로, 로그의 성질을 역으로 적용할 수 있습니다:

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & 로그의 성질 \end{aligned}

중요 사항

몫 규칙을 이용하여 로그식을 간단히 할 때, 모든 로그의 밑은 동일해야 합니다.

예를 들어,

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

와 같은 식에는 로그의 성질을 사용할 수 없습니다.

이해했는지 확인하기

3) $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍를 전개하세요.

4) $\log (3 z) - \log (8)$ ‍을 간단히 하세요.

멱의 법칙: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

이 성질은 거듭제곱의 로그는 지수와 거듭제곱의 밑의 로그의 곱과 같다는 것을 말합니다.

물론입니다!

M = 4

p = 2

, 그리고

b = 4

라면, 성질에 따라,

\log_{4} (4^{2}) = 2 \log_{4} (4)

입니다.

아래 과정은 이 상황에서 성질이 참이라는 것을 보여줍니다!

$\begin{aligned} \log_{4} (4^{2}) & = 2 \log_{4} (4) \\ \log_{4} (16) & = 2 \log_{4} (4) & ∵ 4^{2} = 16 \\ 2 & = 2 \cdot 1 & 로그 계산하기 \\ 2 & = 2 \end{aligned}$ ‍

이는 증명이 아닙니다! 대신, 이 성질이 설득력있다는 것을 확신시켜 줄 수 있고 이것이 왜 참인지에 대한 통찰력을 줄 것입니다.

로그식을 다시 나타내기 위해서 로그의 성질을 사용해 봅시다.

예제: 멱의 법칙을 사용하여 로그식 전개하기

여기에서, 로그 전개하기는 다른 여러 로그로 나타내는 것을 의미합니다.

로그의 성질을 이용하여

\log_{2} (x^{3})

을 전개해 봅시다.

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & 로그의 성질 \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

예제: 멱의 법칙을 사용하여 로그식 풀기

이 부분의 목적을 위해서, 여러 개의 로그를 간단히 하기는 다른 하나의 로그로 나타내는 것을 의미합니다.

로그의 성질을 이용하여

4 \log_{5} (2)

를 간단히 해 봅시다.

로그의 성질을 이용하여 로그식을 간단히 할 때, 곱하는 수를 거듭제곱의 수로 만듭니다.

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & 로그의 성질 \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

이해했는지 확인하기

5) $\log_{7} (x^{5})$ ‍을 전개하세요.

6) $6 \ln (y)$ ‍를 간단히 하세요.

심화문제

다음 문제들을 풀기 위해서, 각 경우에 여러 성질들을 적용해야 할 것입니다. 한번 해보세요!

7) 다음 중 $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍과 같은 것은 무엇일까요?

8) 다음 중 $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍와 같은 것은 무엇일까요?

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로그인

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대수학 2

코스: 대수학 2 > 단원 8

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

이번 단원에서 배우는 것

로그의 성질: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

예제: 곱의 미분법을 사용하여 로그식 전개하기

예제: 곱의 미분법을 사용하여 로그식 풀기

중요 사항

이해했는지 확인하기

로그의 성질: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

예제: 함수의 몫의 미분법을 사용하여 로그식 전개하기

예제: 함수의 몫의 미분법을 사용하여 로그식 풀기

중요 사항

이해했는지 확인하기

멱의 법칙: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

예제: 멱의 법칙을 사용하여 로그식 전개하기

예제: 멱의 법칙을 사용하여 로그식 풀기

이해했는지 확인하기

심화문제

대화에 참여하고 싶으신가요?

로그의 성질: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

로그의 성질: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

멱의 법칙: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍