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주요 내용

로그의 성질 이해하기

다음과 같은 로그의 법칙 증명을 공부해 봅시다: 곱셈 법칙, 나눗셈 법칙, 지수 법칙.
이 단원에서, 로그의 성질 세 가지에 대해 증명할 것입니다: 로그의 진수가 곱셈일 때의 법칙(곱셈 법칙), 로그의 진수가 비로 쓰여 있을 때의 법칙(나눗셈 법칙), 로그의 진수가 거듭제곱일 때의 법칙(거듭제곱의 법칙). 시작하기 전에, 도움을 줄 유용한 내용들을 기억해내 봅시다.
logb(bc)=c
즉, 로그의 밑이 b이면 지수의 밑이 b일 때의 반대 효과를 갖는다고 할 수 있습니다!
증명을 할 때 이것을 꼭 기억하고 있어야 합니다.

곱셈 법칙: logb(MN)=logb(M)+logb(N)

구체적인 예시를 들어 법칙을 증명합시다 — M=4, N=8, 그리고 b=2.
주어진 값들을 logb(MN)에 대입하면, 다음과 같습니다:
log2(48)=log2(2223)22=4 그리고 23=8=log2(22+3)aman=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)Since 2=log2(4) and 3=log2(8)
따라서 log2(48)=log2(4)+log2(8).
이 증명은 딱 하나의 예시에서만 증명이 된 것이기 때문에, 다음과 같은 논리를 따라 일반적인 곱셈법칙을 증명해 봅시다.
482의 거듭제곱으로 쓰는 것이 이 문제의 핵심입니다. 그러므로, 인반적인 경우, MN을 밑이 b인 거듭제곱 꼴로 나타내줍니다. 거듭제곱 꼴로 나타내기 위해, 실수 xy에 대해 M=bx 그리고 N=by으로 나타냅니다.
그러면 정의에 의해, logb(M)=x 그리고 logb(N)=y입니다.
이제 식은 다음과 같습니다:
logb(MN)=logb(bxby)대입하기=logb(bx+y)지수법칙=x+ylogb(bc)=c=logb(M)+logb(N)대입하기

나눗셈 법칙: logb(MN)=logb(M)logb(N)

나눗셈 법칙은 곱셈 법칙에서 사용한 방법과 비슷한 방법으로 증명하려고 합니다.
따라서 다시 한 번 M=bx 그리고 N=by라고 하면, logb(M)=x 그리고 logb(N)=y입니다.
이제 나눗셈 법칙은 다음과 같이 증명할 수 있습니다:
logb(MN)=logb(bxby)대입하기=logb(bxy)지수법칙=xylogb(bc)=c=logb(M)logb(N)대입하기

거듭제곱 법칙: logb(Mp)=plogb(M)

이번에는 M만 존재하기 때문에 M=bx라고 하면, logb(M)=x입니다.
거듭제곱 법칙은 다음과 같습니다.
logb(Mp)=logb((bx)p)대입하기=logb(bxp)지수법칙=xplogb(bc)=c=logb(M)p대입하기=plogb(M)곱셈의 교환법칙
혹은 곱셈 법칙을 활용하여 거듭제곱 법칙을 증명할 수 있습니다.
예를 들어, Mp번 곱해져 있는 것이기 때문에 logb(Mp)=logb(MMM)로 쓸 수 있습니다.
반복된 덧셈은 곱셈으로 나타낼 수 있는 곱셈의 정의와 로그의 곱셈 법칙을 사용하여 증명할 수 있습니다. 증명은 다음과 같습니다.
logb(Mp)=logb(MMM)거듭제곱의 정의=logb(M)+logb(M)++logb(M)곱셈 법칙=plogb(M)반복된 덧셈을 곱셈으로 나타내기
이것이 로그의 성질입니다! 지금까지 로그의 성질 세 가지를 다 증명하였습니다!