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코스: 대수학 2 > 단원 8

단원 1: 로그란?

로그란?

구글 클래스룸

로그가 무엇인지, 어떻게 계산하는지 배워봅니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

지수, 특히 음의 지수를 포함하는 지수에 친숙해야 합니다.

이번 단원에서 배우는 것

로그가 무엇인지 배우고, 몇 가지 기본적인 로그를 구해볼 것입니다. 이는 나중에 로그식과 로그함수를 배우는데 도움이 될 것입니다.

로그란 무엇일까요?

로그는 지수를 다른 방법으로 표현한 것입니다.

예를 들어,

2

의

4^{}

제곱은

16

이라는 것을 알고 있습니다. 이것은 지수방정식

2^{4} = 16

으로 나타낼 수 있습니다.

이제, 누군가가 이렇게 물어볼 것입니다. "

2

를 몇 제곱해야

16

이 되나요?" 정답은

4

일 것입니다. 이것은 로그방정식

\log_{2} (16) = 4

로 나타낼 수 있으며, "2를 밑으로 하는 16의 로그방정식은 4"라고 읽습니다.

2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4

두 방정식 모두에서

2

4

16

의 관계가 동일하게 표현된 것을 알 수 있습니다.

2

는 밑이고,

4

는 지수입니다.

지수방정식은 진수

16

과 분리된 형태이지만, 로그방정식은 지수

4

와 분리된 형태입니다.

다음은 서로 같은 의미를 같는 로그방정식과 지수방정식의 예입니다.

로그 형식		지수 형식
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

로그의 정의

위의 일반화된 예시를 통해 로그의 정의를 알 수 있습니다.

\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a

두 방정식 모두에서

a

b

c

의 관계를 동일하게 나타내고 있습니다:

$b$ ‍는 $밑$ ‍
$c$ ‍는 $지수$ ‍
$a$ ‍는 $진수$ ‍입니다.

유용한 팁

로그형태로 지수방정식을, 혹은 지수형태로 로그방정식을 다시 나타낼 때, 로그의 밑은 지수의 밑과 같다는 것을 기억해두면 도움이 됩니다.

이해했는지 확인하기

다음 문제에서, 지수형태의 방정식을 로그형태의 방정식으로 로그형태의 방정식을 지수형태의 방정식으로 변환할 것입니다.

연습문제 1

다음 중 $2^{5} = 32$ ‍와 같은 것은 무엇일까요?

연습문제 2

다음중 $5^{3} = 125$ ‍와 같은 것은 무엇일까요?

연습문제 3

$\log_{2} (64) = 6$ ‍을 지수형태의 방정식으로 나타내세요.

연습문제 4

4) $\log_{4} (16) = 2$ ‍를 지수형태의 방정식으로 나타내세요.

로그 계산하기

좋아요! 지수와 로그 사이의 관계를 이해하였으므로, 로그를 계산할 수 있는지 확인해 봅시다.

예를 들어,

\log_{4} (64)

를 계산합니다.

이 식을

x

와 같다고 두고 시작합니다.

\log_{4} (64) = x

이 식을 지수방정식으로 나타내면 다음과 같습니다:

4^{x} = 64

4

를 몇 번 거듭제곱해야

64

가 나올까요?

4^{3} = 64

이므로

\log_{4} (64) = 3

입니다.

더 연습하고 나면,

\log_{4} (64)

를 계산할 때 간단한 몇 단계를 뛰어넘고 " $4$ ‍를 몇 번 거듭제곱해야 $64$ ‍가 나올까요?"라고 바로 생각하여 문제를 해결하는 자신을 발견하게 될 것입니다.

이해했는지 확인하기

기억하세요.

\log_{b} (a)

를 계산할 때, 이렇게 생각합니다: "

b

를 몇 번 거듭제곱해야

a

가 나올까요?"

연습문제 5

\log_{6} (36) =

연습문제 6

\log_{3} (27) =

연습문제 7

\log_{4} (4) =

연습문제 8

\log_{5} (1) =

심화문제

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

변수의 조건

\log_{b} (a)

는 밑

b

가 양수이고

1

이 아니면서,

a

가 양수일 때 정의됩니다. 이 조건들은 로그와 지수 사이의 관계에 대한 결과입니다.

조건	논리
$b > 0$ ‍	지수함수에서, 밑 $b$ ‍는 항상 양수로 정의됩니다.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍ 는 $b^{c} = a$ ‍ 입니다. 양수의 임의의 거듭제곱은 양수이므로 (즉, $b^{c} > 0$ ‍), $a > 0$ ‍ 입니다.
$b \neq 1$ ‍	$b$ ‍가 $1$ ‍이 될 수 있다고 가정합니다. 방정식 $\log_{1} (3) = x$ ‍ 가 있습니다. 동일한 지수형태는 $1^{x} = 3$ ‍ 입니다. 그러나, $1$ ‍의 몇 거듭제곱이든 항상 $1$ ‍이 되기 때문에, 이는 참이 아닙니다. 따라서, $b \neq 1$ ‍ 입니다.

특별한 로그

로그의 밑은 다양한 값이 될 수 있지만, 주로 쓰이는 밑이 두 개 있습니다.

특히, 대부분의 계산기에 로그 버튼은 이 두 개 밖에 있습니다. 확인해 보세요.

상용로그

상용로그는 밑이

10

인 로그입니다 ("밑이

10

인 로그").

이 로그를 수학적으로 나타낼 때, 밑은 생략합니다. 밑이

10

인 것으로 간주합니다.

\log_{10} (x) = \log (x)

자연로그

자연로그는 로그의 밑이

e

일 때입니다("밑이

e

인 로그").

밑을

e

로 나타내는 대신에, 이 로그는

\ln

으로 나타냅니다.

\log_{e} (x) = \ln (x)

다음 표는 두 특별한 로그에 대하여 알아야 할 내용들을 정리한 것입니다:

명칭	밑	정식 표기법	특별한 표기법
상용로그	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
자연로그	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

표기법이 다르지만, 로그를 계산하는 기본 개념은 동일합니다!

물론입니다! 해설이 있는 두 예제가 있습니다.

예제 1

\log (100)

을 구하세요.

풀이 1

정의에 따르면,

\log (100) = \log_{10} (100)

입니다.

100

은

10

을 몇 번 거듭제곱한 값일까요?

10^{2} = 100

이므로,

\log (100) = 2

입니다.

예제 2

\ln (e^{3})

을 구하세요.

해설 2

정의에 따르면,

\ln (e^{3}) = \log_{e} (e^{3})

입니다.

e^{3}

은

e

을 몇 번 거듭제곱한 값일까요?

e^{3} = e^{3}

이므로,

\ln (e^{3}) = 3

입니다.

왜 로그를 배우나요?

방금 배웠듯이, 로그는 지수의 역입니다. 이번 시간에 이들은 지수방정식을 푸는데 아주 유용합니다.

예를 들어

2^{x} = 5

의 답은

x = \log_{2} (5)

와 같은 로그 형태로 구할 수 있습니다. 다음 내용에서 로그식을 어떻게 계산하는지 배울 것입니다.

로그식과 함수도 그 자체로 매우 흥미로운 것으로 밝혀지고, 실세계에서도 매우 흔합니다. 예를 들어, 수많은 물리학적 현상은 로그 단위로 측정됩니다.

다음은 무엇인가요?

로그식으로 다시 나타내는데 유용한 로그의 성질에 대하여 배우고, 계산기를 사용하여 원하는 어떤 로그든 계산할 수 있게 도움이 되는 밑변환공식을 배웁니다.

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